2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式（二）学案 苏教版必修5

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1、3.2一元二次不等式（一）学习目标　1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一　分式不等式的解法思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？　　梳理　一般的分式不等式的同解变形法则：(1)>0⇔____________；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0.知识点二　一元二次不等式恒成立问题思考　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]

2、与不等式x－1>0的解集有什么关系？　　梳理　一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴________方．区间[a，b]是不等式f(x)>0的解集的________．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即在[a，b]上，k≥f(x)恒成立⇔k≥________；k≤f(x)恒成立⇔k≤________.类型一　一元二次不等式在生活中的应用例1　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系

3、：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到1km/h，≈168.882)　　　　　　　　反思与感悟　一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练1　在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xk

4、m/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．　类型二　分式不等式的解法例2　解下列不等式．(1)<0；(2)≤1.　　　　　　　反思与感悟　分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．跟踪训练2　解下列不等式．(1)≥0；(2)>1.　　　　　　类型三　不等式恒成立问题例3　设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2

5、)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．引申探究若将例3(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．　　　　　　反思与感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪训练3　当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是_

6、_______．1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是________．2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(00恒成立时，k的取值范围为________．4．解下列不等式．(1)≥0；(2)>1.　　1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零

7、．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a

8、；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．梳理　(1)f(x)·g(x)>0(2)f(x)·g(x)≤0　g(x)≠0知识点二思考　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象