2018版高中数学 第三章 三角恒等变换导学案 新人教a版必修4

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1、第三章三角恒等变换1　三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.一、利用条件中的角表示目标中的角例1　已知cos＝，求cos的值.分析　将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系.解　∵＋＝π，∴－α＝π－.∴cos＝cos＝－cos＝－，即cos＝－.二、利用目标中的角表示条件中的角例2　设α为第四象限角，若

2、＝，则tan2α＝_______________________________.分析　要求tan2α的值，注意到sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα，代入到＝中，首先求出cos2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.解析　由＝＝＝2cos2α＋cos2α＝.∵2cos2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝.∴cos2α＝.∵α为第四象限角，∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝，∴2

3、α在第四象限，∴sin2α＝－，tan2α＝－.答案　－三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3　已知sin＝，0

4、看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x).解　f(x)＝sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°]＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos60°＋sin(x－20°)sin60°＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)，当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值.2　三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常

5、用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助.一、灵活降幂例1＝________.解析　＝＝＝2.答案　2点评　常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ，等等.二、化平方式例2化简求值：(α∈(，2π)).解　因为α∈(，2π)，所以∈(，π)，所以cosα>0，sin>0，故原式＝＝＝＝sin.点评　一般地，在化简求值时，遇到1＋cos2α、1－cos2α、1＋sin2α、1

6、－sin2α常常化为平方式：2cos2α、2sin2α、(sinα＋cosα)2、(sinα－cosα)2.三、灵活变角例3已知sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝________.解析　cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2sin2(－α)－1＝2×()2－1＝－.答案　－点评　正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求弦例4已知tanθ＝－，则的值是________.解析　＝＝＝＝＝3.答案　3点评　解本题的关键是先由二倍角公

7、式和平方关系把“”化为关于sinθ和cosθ的二次齐次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsinα求cosαcos2αcos4αcos8α…cos2n－1·α的值例5求coscoscoscoscos的值.解　原式＝－coscoscoscoscos＝＝＝＝＝＝.点评　这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.3　聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解例1　求函数f(x)＝的最值.解　原函数变形得f(x)＝＝＝＝sin2x＋.∴f(x)max＝，f(x)min＝.例2　求函数

8、y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.解　原函数化简得y＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2.当2x＋＝2kπ＋π，k∈Z，即x＝kπ＋π，k∈Z时，ymin＝2－.此时x的集合为{x

9、x＝kπ＋π，k∈Z}.点评　形如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx＋