2018版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（二）学案 新人教b版必修5

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1、1.1.1　正弦定理(二)学习目标　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．知识点一　正弦定理的常见变形1．sinA∶sinB∶sinC＝________；2.＝＝＝＝______；3．a＝__________，b＝____________，c＝__________；4．sinA＝__________，sinB＝________，sinC＝__________.知识点二　判断三角形解的个数思考1　在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝

2、60°，判断三角形解的个数．梳理　已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一．例如在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sinB＝.在由sinB求B时，如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a

3、三角形问题中的作用思考1　在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理　一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．思考2　什么时候适合用正弦定理进行边角互化？类型一　判断三角形解的个数例1　在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，解三角形．引申探究若a＝，b＝1，B＝120°，解三角形．　反思与感悟　已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的

4、对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1　已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．　类型二　利用正弦定理求最值或取值范围例2　在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围．反思与感悟　解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某

5、些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪训练2　在△ABC中，若C＝2B，求的取值范围．类型三　正弦定理与三角变换的综合例3　已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．　反思与感悟　借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．跟踪训练3　已知方程x2－(bcosA)x

6、＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，其中a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状．　　　1．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则角C的值为(　　)A．45°B．30°C．75°D．90°2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．　　　　　1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，

7、这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．答案精析问题导学知识点一1．a∶b∶c　2.2R3．2RsinA　2RsinB　2RsinC4.　　知识点二思考1　sinB＝sinA＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sinB＝的角有60°

8、考2　如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．知识点三思考1　可借助正弦定理把边化成角：