2017-2018学年高考数学 第11周 空间向量与立体几何周末培优试题 理 新人教a版

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1、第11周空间向量与立体几何（测试时间：50分钟，总分：80分）班级：____________姓名：____________座号：____________得分：____________一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由题设可得，解之得，应选D.2．设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，，则A．18B．12C．D．【答案】C【解析】∵两点的坐标分别是，∴，故选C

2、.3．在四棱锥中，底面是平行四边形，设，则可表示为A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，因，故，应选A.4．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为A．1B．2C．D．【答案】C【解析】因为平面的一个法向量为，且点，所以，所以点到平面的距离为，故选C．5．已知空间四边形，满足，，，，则的值为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】解答本题的关键是借助题设条件，先构造出符合题设条件的空间四边形，然后再依据题设中提供的数据关系，计算出对角线，进而借助题设的数据推断出，然后依据线面垂直的判定定理得到，从而求出使得问题获解.6．在正方体中，点E

3、为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为A．B．C．D．【答案】B【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，如图．设棱长为1，则，，D(0，1，0)，所以，，设平面的一个法向量为，则，所以.所以．设平面的一个法向量为，所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故选B．7．在平行四边形中，,,若将其沿折成直二面角,则与所成的角的余弦值为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】本题考查异面直线夹角求解，利用向量的方法，降低了思维难度．注意一般的异面直线所成角与两直线方向向量夹角相等或互补，即余弦的绝对值相等；由得到，以为坐标原点，建立空间

4、直角坐标系，利用向量方法求出异面直线与所成角的余弦值.8．如图所示，在正方体中，，，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，则，以点D为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则可知：所以，平面的一个法向量为，据此可得：.本题选择A选项.二、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）9．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．【答案】【解析】分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则所以，所以直线和所成角的余弦值为．1

5、0．在四棱锥中，若，，，则这个四棱锥的高__________．【答案】2三、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．如图，四棱锥的底面为菱形，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接四边形为菱形，，分别为的中点，.为的中点，，又平面平面，平面平面平面，，平面.（2）连接四边形为菱形，为等边三角形，又为的中点，，平面两两垂直.以所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向

6、量为且，则，即，取，则，即，所以，结合图形可知二面角的余弦值为.12．如图所示，在已知三棱柱中，，，，平面平面，点在线段上，点是线段的中点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）点为线段上靠近点的三等分点；（2）.【解析】（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点.连接，∵是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面，∵，，∴，∴，即点为线段上靠近点的三等分点.∴，，设平面的一个法向量，则由可得令，得，∵，且，∴，∴，故直线与平面所成角的正弦值为.【名师点睛】利用空间向量求线面角有两种途径：

7、一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．13．有一个侧面是正三角形的四棱锥如图（1），它的三视图如图（2）．（1）证明：平面；（2）求平面与正三角形侧面所成二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）．（2）由三视图可知，四棱锥的正三角形侧面为面．为正三角形，∴．在中，．以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则有．∴，由（1）知是平面的一个法向量．设平面的法向量为，由，得的一组解为．设平面与正三角形侧面所成二面角为，则．