2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9第2课时定点、定值、范围、最值问题学案理北师大版

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1、第2课时 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题典例(2017·全国Ⅰ)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.(1)解 由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点.又由+>+知,椭圆C不经过点P1,所以点P2在椭圆C上.因此解得故椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2

2、.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且

3、t

4、<2,可得A,B的坐标分别为,,则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.由题设知k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·+(m-1)·=0,解得k=-.当且仅当m>-

5、1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.跟踪训练(2017·长沙联考)已知椭圆+=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2

6、.(1)求椭圆的标准方程;(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点并求此定点.(1)解 设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,∴a2=3.∴椭圆的方程为+y2=1.(2)证明 由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为x=t(y-m),由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),∴y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,∴λ1=-1.同理由=λ2知λ2=-1.∵λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)

7、=0,①联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,∴由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②且有y1+y2=,y1y2=,③③代入①得t2m2-3+2m2t2=0,∴(mt)2=1,由题意mt<0,∴mt=-1,满足②,得直线l方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.题型二 定值问题典例(2017·广州市综合测试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)若P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,试判断直线

8、PQ的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.解 (1)因为椭圆C的离心率为,且过点A(2,1),所以+=1,=,又a2=b2+c2,所以a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)方法一 因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,所以PA与AQ所在的直线关于直线x=2对称.设直线PA的斜率为k,则直线AQ的斜率为-k.所以直线PA的方程为y-1=k(x-2),直线AQ的方程为y-1=-k(x-2).设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),由得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0

9、.①因为点A(2,1)在椭圆C上,所以x=2是方程①的一个根,则2xP=,所以xP=.同理xQ=.所以xP-xQ=-,xP+xQ=.又yP-yQ=k(xP+xQ-4)=-,所以直线PQ的斜率kPQ==,所以直线PQ的斜率为定值,该值为.方法二 设直线PQ的方程为y=kx+b,点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+b,y2=kx2+b,直线PA的斜率kPA=,直线QA的斜率kQA=.因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,所以PA与AQ所在的直线关于直线x=2对称,所以kPA=-kQA,即=-,化简得x1y2+x

10、2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.把y1=kx1+b,y2=kx2+b代入上式,化简得2kx1x2+(b-1-2k)(x1+x2)-4b+4=0.①由得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-8=0,②则x1+x2=-,x1x2=,代入①,得--4b+4=0,整理得(2k-1)(b+2k-

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