2019版高考数学一轮复习10.9离散型随机变量的均值、方差和正态分布学案理

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1、10．9　离散型随机变量的均值、方差和正态分布[知识梳理]1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布

2、的均值、方差XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)pnpD(X)p(1－p)np(1－p)4．正态曲线(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体

3、的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a

4、(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.(　　)(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－3P68T1)已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)A.B．4C．－1D．1答案　A解析　E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝

5、2E(X)＋3＝－＋3＝.故选A.(2)(选修A2－3P75A组T1)正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别为(　　)A．0和8B．0和4C．0和2D．0和答案　C解析　根据已知条件可知μ＝0，σ＝2，故选C.3．小题热身(1)(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56%B．

6、13.59%C．27.18%D．31.74%答案　B解析　P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%，则P(3<ξ<6)＝×(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.(2)(2018·张掖检测)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝(　　)A.B.C.D.答案　B解析　设涂0个面的小正方体有x个，涂1个面的小正方体有y个，涂2个面的小正方体有z个，涂3个面的小正方体有w个，则有0·x＋1·y＋2·z＋3·w＝25×6＝150，

7、所以E(X)＝0·＋1·＋2·＋3·＝＝.故选B.题型1　与二项分布有关的期望与方差　　(2017·山西太原模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽