数学中考总复习：二次函数--知识讲解（提高）

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1、精品中考总复习：二次函数—知识讲解（提高）【考纲要求】1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．要点诠释：二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．考点二、二次函数的图象及性质1.

2、二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．3.①

3、a

4、的大小决定抛物线的开口大小．

5、a

6、越大，抛物线的开口越小，

7、a

8、越小，抛物线的开口越大．②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．③精品ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．将向上移动k个单位得：．将向左移动h个单位得：．将先向上移动k(k＞0)个单位

9、，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．5.几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三、二次函数的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2.交点式（双根式）：．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐

10、标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式：．精品若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：．若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系

11、：).考点四、二次函数(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．要点诠释：关于二次函数(a≠0)中几个常用结论：(1)抛物线的对称轴是y轴(顶点在y轴上)，则b＝0；(2)抛物线与x轴只有一个交点(顶点在x轴上)，则；(3)抛物线过原点，则c＝0；（4）当x＝1时，函数y＝a+b+c；（5）当x＝-1时，函数y＝a-b+c；（6）当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；（7）当a-b+c＞0时

12、，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当时，．2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内．①若在此范围内，则：精品当a＞0时，，(此时，)；当a＜0时，，(此时，)．②若不在此范围内，则：当y随x的增大而增大时，(此时，)，(此时，x＝x1)；当y随x的增大而减小时，(此时，)，(此时，x＝x2)．要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．考点六、二次函数与一元二次方程的关系　　函

13、数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.　　　通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关