数学中考总复习：二次函数--知识讲解（基础）

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1、精品中考总复习：二次函数—知识讲解（基础）【考纲要求】1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．要点诠释：二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．考点二、二次函数的图象

2、及性质1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．3.①

3、a

4、的大小决定抛物线的开口大小．

5、a

6、越大，抛物线的开口越小，

7、a

8、越小，抛物线的开口越大．②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．③精品ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．将向上移动k个单位得：．将向左移动h个单位得：．将先向上移

9、动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三、二次函数的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2.交点式（双根式）：．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式：．若已知二次函数

10、图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：．若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).精品考点四、二次函数(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a＞0时，开口向上，否

11、则开口向下．2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．要点诠释：当x＝1时，函数y＝a+b+c；当x＝-1时，函数y＝a-b+c；当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，．2.当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，．要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．【典型例题】类型一、

12、应用二次函数的定义求值1．二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是2．【思路点拨】因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+1＞0，即k＞-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值==-4，可以求出k的值．【答案与解析】解：∵图象的对称轴在y轴的右侧，∴对称轴x=k+1＞0，解得k＞-1，∵二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，精品∴y最小值==k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，整理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，∵k=-3＜-1，不合题意舍去，∴k=

13、2．【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．举一反三：【变式】已知是二次函数，求k的值．【答案】∵是二次函数，则由得，即，得，．显然，当k＝-3时，原函数为y＝0，不是二次函数．∴k＝2即为所求．类型二、二次函数的图象及性质的应用2．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为()．A．B．C．D．【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向