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《第十六章 多元函数的极限与连续.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数1.判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点和界点：（1）［a,b）［c,d）;（2）｛（x,y）｜xy0｝;（3）｛（x,y）｜xy＝0｝;（4）｛（x,y）｜y＞x2｝;（5）｛（x,y）｜x＜2,y＜2,x＋y＞2｝;（6）｛（x,y）｜x2＋y2＝1或y＝0，0x1｝;（7）｛（x,y）｜x2＋y21或y＝0，1x2｝;（8）｛（x,y）｜x,y均为整数｝;（9）｛（x,y）｜y＝sin,x＞0｝;解：（1）有界区域.其聚点为[a,b][c,d]中任一点.界点为矩形[a,b][c,d]的四条边上的任一点
2、.(2)无界开集.聚点集为R2.界点集为｛（x,y）｜xy＝0｝.(3)无界闭集.聚点集和界点集都是｛（x,y）｜xy＝0｝.(4)无界开域.聚点集为｛（x,y）｜yx2｝.界点集为｛（x,y）｜y＝x2｝.(5)有界开域.聚点集为｛（x,y）｜x2,y2,x＋y2｝.界点为直线x=2,y=2和x+y=2所围成的三角形三边上的点.(6)无界闭集.没有聚点.有界点集,聚点:E=｛（x,y）｜x2＋y2＝1或y＝0，0x1｝.界点:E=E.(7)闭集,有界集.聚点E=｛（x,y）｜x2＋y21或y＝0，1x2｝,E=｛（x,y）｜x2＋y2＝1或y＝0，1x2｝.(8)是闭集,界点集｛（x,y
3、）｜x,y均为整数｝.(9)是非开非闭的无界集.聚点E=｛（x,y）｜y＝sin,x＞0｝｛(0,y)｜-1y1｝,E=E.2.试问集合｛（x,y）｜0＜｜x-a｜＜,0＜｜y-b｜＜｝与集合｛（x,y）｜｜x-a｜＜,｜y-b｜＜,(x,y)(a,b)｝是否相同?解:不相同,因为点集=｛（x,y）｜x=a,0＜｜y-b｜＜｝与=｛（x,y）｜y=b,0＜｜x-a｜＜｝不属于第一个点集,但却属于第二个点集.3.证明:当且仅当存在各点互不相同的点列｛｝,,时,是E的聚点.解:证充分性若存在｛｝且各点互不相同,,但,则＞0.当时,又｛｝从而的任何空心邻域内都含有中的点.即是的聚点.必要性:若是
4、的聚点,则＞0,存在.令,则存在;令,则存在;且显然知;令,则存在,且与…互异.无限地重复以上步骤,得到中各项互异的点列｛｝,且由易得.1.证明：闭域必为闭集.举例说明反之不真.解:设为闭域,且P是D的任一聚点,则内含有的无穷多个点.若(1)使则;(2)否则的没每一内既含有的点又含有不属于D的点,则是的界点,由闭域定义,由(1),(2)得,由的任意性得上的一切点都是的聚点,所以是闭集.反之,例如或是闭集,然而中的开域是及且,则可知不是闭域.2.证明:点列收敛于的充要条件是和.证必要性设点列收敛于,即.则,存在,当时,有,即.于是.从而.同理,.充分性设,,则,存在,当时,,.因此.则可知收
5、敛于.1.求下列个函数的函数值:(1),求;(2),求;(3),求.解:(1)==(2)(3)7.设证明:若则证:因为所以8.求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:(1);(2)(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10)(R＞r);解:(1)定义域:,是开集但不是开域.(2)定义域:,是开集也是开域.(3)定义域:,是闭集也是闭域.(4)定义域:,是闭集,但不是区域.(5)定义域:,是开集,也是开域.(6)定义域:,是闭集,但不是区域.(7)定义域:是开集,也是开域.(8)定义域:是开集,又是闭集,是闭域也是开域.(9)定义域:,是开集,又是闭集
6、,是闭域也是开域.(10)定义域:,是有界集,但既不是开集也不是闭集.§2二元函数的极限1.试求下列极限(包括非正常极限)(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)解(1)对函数自变量作极坐标变换:这时由于因此,对由此可知(2)令.这时.(3)令.这时(4)令.这时,不妨限制.则对因为则故(5)对就有所以(6)对所以(7)令.这时1.讨论下列函数在点(0,0)的重极限和累次极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6)(7);解(1)当动点沿直线趋于点时有其极限值依赖于k,因此,(2)因为:,当,所以,当时,,即.当…,时,的极限不存在,因此不存在,同法得不存在.(3)1
7、)当沿时,有2)当沿时有因此不存在,而,(4)1)当沿时,有.2)当沿时,有,因此不存在,,.(4)因为所以对,取当时即而不存在.总练习题十六1.设E是有界闭集，d(E)为E的直径。证明：存在,使得证：由知：对存在使得而均为有界闭集E中的点列，从而有收敛子列，设，。于是。对上式取的极限得。既，由于E为闭集，所以。2.设，k>1试分别讨论i=1,2时，极限是否存在？为什么？解：（1）当时，由，得，于是。（2）取,有于是与等
