第十六章多元函数的极限与连续习题课.doc

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1、第十六章多元函数的极限与连续习题课一概念叙述题1.叙述，其中的坐标为．当时，有（方形邻域）当，，，有（圆形邻域）当，有．2.叙述，，的定义．．3.叙述的定义．4.叙述的定义．5.叙述的定义．．注：类似写出的定义，其中取，取，取．6.叙述在点连续的定义．在点连续，，只要，就有，，当，，就有，，当，就有．7.叙述在上一致连续的定义．在上一致连续只要，就有8.叙述在上不一致连续的定义．在上不一致连续尽管，但有二疑难问题与注意事项1.表示空心邻域吗？答：不是．只是去掉一点，而是去掉了两条线段，，．2.的界点是的聚点吗？答：不一定，的界点还可能是的孤立点．3.的聚点一定属于

2、吗？答：不一定，例如，，满足的一切点也是的聚点，但它们都不属于．注的内点，孤立点一定属于，的聚点，界点可能属于，也可能不属于，的外点一定不属于．4.区域上每一点都是聚点吗？答区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．5.，，之间有什么关系？答：．6.用方形邻域证明的思路是什么？答：证明怎么证呢？------关键也是找.（用方形邻域的思路当，，，有.）当，有，把化简为下述形式:（注意一定要出现，）.然后将适当放大，有时先要限定，,估算得,则（最综化简到这个形式）；，要使，只要，即要，取，于是当，，，有.7.证明判

3、断二元函数在时二重极限不存在？答：1）当动点沿着直线而趋于定点时，若值与有关，则二重极限不存在．2）令，，与有关，则二重极限不存在．注意若与无关，则二重极限存在．3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同．4）证明两个累次极限存在但不相等．8.当动点沿着直线而趋于定点时，若值与无关，能说明二重极限存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数，动点沿着直线而趋于定点这只是一种方式，还有其它方式．9.计算二元函数极限有哪些方法？1)利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例求．解因为，而，利用有界函数与无穷小的乘积是无

4、穷小，即知．2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例．解利用变量替换．令，当时，有，因此．3）利用极坐标变换．令，，如果沿径向路径关于一致成立，则；例求．解利用极坐标变换．令，，当时，有，因此．4）利用不等式，使用夹逼准则．例解因为，而因此．5）初等变形求极限，如极限，凑，．例解．10．重极限与累次极限有什么关系？答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等；（3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．（4）两个累

5、次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．11.二元函数在连续，与一元函数在连续，一元函数在连续有什么关系？答反例二元函数在原点处显然不连续．但由因此在原点处对和对分别都连续．三典型例题1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）的内点集合是，边界点集合是，聚点集合是．没有孤立点．（2）没有内点，（因为中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）；边界点集合是．聚点集合是，没有孤立点．（3）没有内点，（因为中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点）边界点集合是

6、，没有聚点，孤立点集合是．（4）没有内点，聚点是，没有孤立点，界点是．2．证明．证：（）由于，即对，，当时有，因此有，，即．（）由于，即对，，当时有，，从而有，即．3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子．（2）举出两个累次极限存在，且相等的例子．（3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子．（4）举出两个累次极限都不存在的例子．解：（1）例如在点的两个累次极限存在，但不相等．，．（2）例如在点的两个累次极限存在，且相等．，．（3）例如在点只有一个累次极限存在．不存在，．（4）例如在点两个累次极限都不存在．注两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存

7、在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．4．试作函数，使当，时(1)两个累次极限存在而重极限不存在；(2)两个累次极限不存在而重极限存在；(3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．解（1），两个累次极限存在（见上题），但，因为与有关系，因此重极限不存在．（2），在点两个累次极限都不存在，但重极限存在．（3），在点的两个累次极限，重极限都不存在．（4）或．变形：当，时，有，，（1）；（2）；（3）；（4）．5.讨论二元函数在点的连续性．解令，，当，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知，因此在点连续；当，由极限值与有关，二

8、重极限不存