Stirling逼近

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1、用Stirling逼近近似计算阶乘的探讨与应用 江苏省赣榆高级中学仲晨myheimu@yahoo.com.cn【关键词】： Stirling逼近，阶乘，极限论，微积分，数学实验，计算机算法 “阶乘”（factorial）在信息学竞赛中具有重要角色，更广泛的说，“阶乘”在数学领域也是占有重要地位。在许多人刚刚学习计算机语言的时候，大多会被要求写一个算阶乘的程序，而在学习高精度算法的时候，也会写一个计算较大数字阶乘的程序。不过，在实际的运用之中，可能遇到更大数字的阶乘计算和不同要求的阶乘结果，例如：TOJ（同济大学ACM网络

2、题库，http://acm.tongji.edu.cn/problem.php）的1016题——“求N！左边第二位的数字”，这就需要一定的精度思考了。可是我们通常对于较大数字阶乘的要求是求结果位数或前几位数字，这怎么办呢？在刘汝佳的《算法艺术与信息学竞赛》一书中，（Page241）介绍了Stirling公式：其中的～符号是指“同阶”或“相当”，即两者随n增加的大致速度相同，在n较大时，两者极其相近。这是一个极限的概念（现行教材高二下学期数学内容），属于微分学内容，准确写法为：但遗憾的是在《算法艺术与信息学竞赛》书中只提供

3、了这个算式，并无他物！本人近日看到一本数学科普读物——《好玩的数学——不可思议的e》（陈任政著，科学出版社），其中5.12节简介了Stirling逼近近似算阶乘，本人感到好奇，于是对这种算法的具体步骤进行了分析，并研究了它的精确度，故为本文。在2005年8月7日完工之日，笔者上网搜索了一下，找到了一些关于Stirling逼近的文章，偶然地在臺灣亞洲聚合公司蔡永裕《談Stirling公式的改良》（刊自台湾《數學傳播》20卷4期，民国85年12月）一文中找到同感，蔡先生的做法于笔者方向不同，作出来的结果比笔者的算法精确一个数

4、量级左右，惭愧，于是，笔者又再次研究，寻找更好算法，写于本文后部。 在1730年，棣莫弗(棣,音Dì)（法国数学家，AbrahamDe Moiver，1667～1754）发表的《分析杂论》中首先对n!地一个无穷级数展开式给出了近似公式：但是，现在我们叫这个式子为“Stirling逼近”，中文叫做“斯特林逼近”，这是为什么呢？因为棣莫弗的朋友苏格兰数学家斯特林(JamesStirling,1696~1770)在同年的《微分法或无穷级数的简述》中也给出了等价的级数。事实上，棣莫弗首先得到的式子是，但是，他没有把C求出来。而斯

5、特林则利用棣莫弗的发现做了探讨，求出了。这些式子的来源是一个无穷级数展开式：其中B2=1/6，B4=-1/30，B6=1/42… B2k是雅格布·伯努力数。（具体内容请参见后文介绍） .这里介绍一下，还没上高中的同学还没有学到，“乘方”的逆运算有两种：开方和对数。对于一个幂：，其中a成为底数，n成为指数，b成为幂。已知a和n求b，就是乘方运算；已知b和n，求a，就是开方运算；而已知a和b求n，就是对数运算，写做：，这里n就称为以a为底b的对数（logarithm）。当底数为10的时候，叫做常用底数，简写做 e的时候，叫做

6、自然对数，简写做 。；当底数为至于e的含义：e是重要性仅次于π的数，是极限论的主要内容，具体的说，即：意思是当n趋向于正的无限大的时候，趋向于e。e是无理数，即无限不循环小数，也是超越数，即不能满足某个整数系数代数方程的数（不能满足某个整数系数代数方程的数叫做代数数）。目前e只算到了几千位。e＝2.718281828459045235360287471352662497757247093...特别说明的是，在Pascal语言中，exp(n)函数就是e的n次方。 另外，有个著名的公式被成为“整个数学中最卓越的公式”：其中的

7、i为虚数的单位，。来自算术的0、1，来自代数的i，来自几何的π，来自分析学的e，奇妙的组成了一个公式！这是欧拉（瑞士数学家，Leonhard Euler，1707~1783）发现的！所以称作“欧拉公式”。不过，真正的欧拉公式是：那个“最卓越的公式”只是欧拉公式的一个推倒公式。 言归正传，由公式两边同时取e的幂，得即：再经过近似等处理（这些处理比较麻烦，而且牵扯到微积分内容）,我们得到了Stirling公式：注：在本文后部有Stirling公式的推倒过程。当然，我们可以得到它得更具体形式：其中的θ是不定的，在（0,1）区间

8、之内。 讲到这里，我们有了公式，可以开始计算了。但是，我们计算什么呢？难道我们要计算N！的值吗？虽然这个式子比阶乘原始计算式简单，但是实际计算的时候仍然得到的将是上百上千位的数字，而且这个式子毕竟是近似公式，无法真正得到确切得数！难道我们辛苦的到的式子无用了吗？.答案当然是否定的！我们可以求N！的位数！ 求位数的方法