不等式恒成立问题的处理apsao.doc

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1、不等式恒成立问题的处理恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③其他类不等式恒成立一．一次函数型nmoxy给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有nmoxy二．二次函数：①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例1.若函数在R上恒成立，求m的取值范围。略解：

2、要使在R上恒成立，即在R上恒成立。时，成立时，，由，可知，例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。练习1：.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。（2）当二次函数的定义域不是R时，即二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值。例1：若时，恒成立，求的取值范围。解：，令在上的最小值为。⑴当，即时，又不存在。⑵当，即时，又⑶当，即时，又总上所述，。变式2：若时，恒成立，求的取值范围

3、。解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。略解：，即在上成立。⑴2—2⑵综上所述，。解法二：（利用根的分布情况知识）⑴当，即时，不存在。⑵当，即时，，⑶当，即时，，综上所述。例2.已知函数在其定义域内恒为非负，求方程的根的取值范围。解：因为f（x）恒为非负，则解得，方程化为当时，则所以所以当时，则所以所以方程的根的取值范围是例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立当时，显然成立；Oxyx-1当时，如图，恒成立的充要条

4、件为：解得。综上可得实数的取值范围为。三、分离参数法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例1（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是.解析:当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.例2．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解：将问题转化为对恒成立。令，

5、则由可知在上为减函数，故∴即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。三、主参换位法在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。例1若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。解：原不等式可化为令是关于m的一次函数。由题意知解得∴x的取值范围是关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。例2已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。（1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是

6、减函数。（2）解不等式。（3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）设，则，可知，所以在［－1，1］上是增函数。（2）由在［－1，1］上是增函数知解得，故不等式的解集（3）因为在［－1，1］上是增函数，所以，即1是的最大值。依题意有，对a∈［－1，1］恒成立，即恒成立。令，它的图象是一条线段，那么。关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于（

7、3），转换视角变更主元，把看作关于a的一次函数，即在a∈［－1，1］上大于等于0，利用是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。五．数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。x-2-4yO-4例1．设,,若恒有成立,求实数的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出及的图象如图所示，的图象是

8、半圆的图象是平行的直线系。要使恒成立，则圆心到直线的距离满足解得（舍去)O例12、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________解析：对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知，即。例3、当x(1,2)时，不等式<恒成立，求a的取值范围。解：1