不等式恒成立问题的处理

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1、不等式恒成立问题的处理恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③其他类不等式恒成立一、一次函数型nmoxy给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有nmoxy例1．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。当时，可得，不合题意。当时，应有解之

2、得。故的取值范围为。注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。练习：对于满足

3、a

4、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.例2.已知（其中a为正常数），若当x在区间［1，2］内任意取值时，P的值恒为正，求b的取值范围。解：P变形为设∴因此，原题变为当t在区间［0，1］内任意取值时，f（t）恒为正，求b的取值范围。由充要条件，当（1）或（2）解

5、（1）得解（2）得故，当时，当例3设，若当时，P>0恒成立，求x的变化范围。解：设当时的图像是一条线段，所以a在上变动时，P恒为正值的充要条件是即解得即x的取值范围是二、二次函数型（1）当二次函数的定义域为R时：若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)小于0恒成立，则有例1.若函数在R上恒成立，求m的取值范围。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。时，成立时，，由，可知，例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的

6、取值范围为。练习1：.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。（2）当二次函数的定义域不是R时，即二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值。例1：若时，恒成立，求的取值范围。解：，令在上的最小值为。⑴当，即时，又不存在。⑵当，即时，又⑶当，即时，又总上所述，。变式2：若时，恒成立，求的取值范围。解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。略解：，即在上成立。⑴2—2⑵综上所述，。解法二：（利用根的分布情况知识）

7、⑴当，即时，不存在。⑵当，即时，，⑶当，即时，，综上所述。例2.已知函数在其定义域内恒为非负，求方程的根的取值范围。解：因为f（x）恒为非负，则解得，方程化为当时，则所以所以当时，则所以所以方程的根的取值范围是例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立当时，显然成立；Oxyx-1当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。二、其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例1．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。

8、解：设，则由题可知对任意恒成立令，得而∴∴即实数的取值范围为。例2．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立实际上，上题就可利用此法解决。例1．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解：将问题转

9、化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数，故∴即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例2.已知函数，常数，求（1）函数的定义域；（2）当满足什么条件时在区间上恒取正。解：（1），又定义域（2）欲使在恒成立，则在恒成立，由于，所以函数在单调递增，所以且。例5已知函数在定义域上为减函数，若对于任意的成立，求的取值范围。（纠错64页）例3若不等式在上恒成立（或改为有解）求的取值范围。数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着

10、重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。x-2-4yO-4例1．设,,若恒有成立,求实数的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出及的图象如图所示，