高考分类题库考点 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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1、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.（2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数满足则x>0时,f(x)（）有极大值，无极小值有极小值，无极大值既有极大值又有极小值既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。【解析】选D.由题意知，由得,当时,即,则当时,,故在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【解题指南】先结合函数画出函数y

2、=

3、f(x)

4、的图象，利用在处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=

5、f(x)

6、的图象如图所示,当时，，，，故.-45-当时，，由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上.3.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数，下列结论中错误的是（）A.，B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0∈R,使f(x0)=0,A正确.B项,

7、假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对x∈R恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x1

8、单调递减,C错误.D项,若x0是极值点,则一定有.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数有两个极值点，，若，则关于的方程的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，由上述可知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1

9、=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.5.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，不妨设由题意知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1

10、x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知为常数，函数有两个极值点，则（）A.B.C.D.【解析】选D.，令，由题意可得有两个实数解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点-45-⇔g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0,g'(x)=-2a=.①当a≤0时,>0,单调递增,因此g(x)=至多有一个零点,不符合题意,应舍去.②当a>0时,令=0,解得x=因为,函数g(x)单调递增;时，函数g(x)单调递减.所以x=是函数g(x)的极大值点

11、,则g>0,即ln+1-1=-ln(2a)>0,所以ln(2a)<0,所以0<2a<1,即01×7.（2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数.若实数a,b满足,则（）A.B.C.D.【解题指南】先由确定a,b的大小，再结合的单调性进行判断.-45-【解析】选A.因为所以在其定义域

12、内是单调递增的，由知又因为，，故在上也是单调递增的，由知，所以，，因此。8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则　(　　)A.当