运用数学思想解决排列组合问题

《运用数学思想解决排列组合问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、运用数学思想解决排列组合问题排列组合是当今发展很快的组合数学的最初步的知识。这种以计数问题为特征的内容在中学数学中是较为独特的。它不仅应用广泛，而且思想方法独特灵活，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。下面谈谈数学思想在排列组合问题中的运用。（一）化归思想化归思想指的是变更转化的解题思想，即将条件或结论经过适当的转化，整个命题就可以变更为我们熟知的一些常见问题。例1:（1993年全国）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有[]A.6种B.9种

2、C.11种D.23种思路分析:建立数学模型转化为数学问题。用1,2,3,4这四个数字组成无重复的四位数，其中1不在个位,2不在十位,3不在百位,4不在千位的四位数共有几个？解法1（枚举法）：列出所有可能情况。214323412413314234213412412343124321・••一共9种解法2:个位数只能2,3,4三个数中任选一个，有三种选法，当个位数选定2后,十位数只能从1,3,4中任选1个，有3种选法;此时百位数,千位数已确定。类似地，当个位数选定3后,情况仍一样。共有3X3-9种。（二）分类思想把一

3、个复杂思想通过止确划分，进行合理分类转化为若干小问题予以各个击破,这是高考屮考查的最重耍的数学思想方法Z-o例2:（2007年全国）从班委会5名成员中，选出3名分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有（）个。思路分析:可考虑甲乙二人是否被选入手，分成三类。解:第一类：甲乙二人都被选上有A22?A13=6种选法；第二类：甲乙二人中恰有1人被选上有A12?A12?A23=24种选法；第三类：甲乙二人都未被选上有A33二6种选法；.・・共有6+24+6=36种说明：分

4、类要做到不重不漏，每一类办法都能独立完成任务，类类之间是并列关系。（三）对称思想对称思想在思想数学中广泛应用，挖掘数学问题中隐含的对称性，运用对称思想，往往得到意想不到的简捷解法。例3:（1990年全国）A,B,C,D,E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边（A,B可以相邻），那么不同的排法共有UA.24种B.60种C.90种D.120种思路分析:该题若用通法，需按A站的位置分成4类,较繁;若用对称性,则出人意料的简单。通法（分类法）：第1类:A站左边第1位，有A44二24种排法；第2类:A站左边第2位，有A

5、31.?A33二18种排法;第3类:A站左边第3位,有A21?A33二12种排法；第4类:A站左边第4位，有A33二6种排法；所以，共有24+18+12+6二60种，故选Bo对称法:不考虑限制A,B,C,D,E五人并排站成一排共有A55种方法，由对称性可知,B在A右边与B在A左边的机会相等，应得排法为l/2,A55=60种。（四）逆向思想很多问题正面求解困难重重，但若从反面考虑，就会“柳暗花明”。例4:（2008年四川）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的先法共有U

6、A.70种B.112种C.140种D.168种思路分析:若从正面考虑，需分成两类:一类甲、乙二人都参加；另一类甲、乙二人中只有1人参加。若从反面考虑，则简单的多。只需用10名同学中选4名参加活动的不同选法数减去所挑选的4人中没有甲、乙二人的先法数即可。解:C104-C84二140种。故选C（五）整体思想遇到了相邻问题，常用“捆绑法”即将相邻元素看成1个整体。例5:4名男同学,3名女同学站成一排照相,3名女同学必须相邻，有多少种不同排法？思路分析:先3名女同学任意排列，再将3名女同学捆绑看成1个整体与4名男同学任

7、意排列。解:A33?A55二720种。