随机过程_习题_第2章

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1、WORD格式.整理版2.1设是一马尔可夫过程，又设。试证明：即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。证明：首先，由条件概率的定义式得根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得于是，2.2试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有，其中代表“现在”，代表“过去”，代表“将来”，若为已知值。试证明：证明：首先，由条件概率的定义式得然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得优质.参考.资料WORD格式.整理版2.3若是一马尔可夫过程，。试证明：证明：首先，利用性质：得于是，由马尔可夫性

2、得再利用性质得=2.4若有随机变量序列，且之间相互统计独立，的概率密度函数为，。定义另一随机变量序列如下：试证明：（1）序列具有马尔可夫性；（2）(1)证明：由于相互统计独立，其n维联合概率密度函数为优质.参考.资料WORD格式.整理版由随机变量序列与的关系可得如下的雅可比行列式所以，的n维联合概率密度函数为于是，由于且所以，因此所以，序列具有马尔可夫性。优质.参考.资料WORD格式.整理版(2)证明：根据条件均值的定义得于是，由给定的关系和2.5设有随机过程x(n)(n=1，2，3，…)，它的状态空间I：{x：0

3、n(n=1，2，3，…)。设x(1)为（0，1）间均匀分布的随机变量，即x(1)的概率密度为x(1),x(2),…,x(m)的联合概率密度为(1)求x(2)的边际概率密度f2(x2)；(2)试问该过程是否为马尔可夫过程；(3)求转移概率密度f2

4、1(x2

5、x1)，……，fm

6、m-1(xm

7、xm-1)。(4)求。(1)解：由给出的x(1),x(2),…,x(m)的联合概率密度函数可知优质.参考.资料WORD格式.整理版其分布区域如右图加黑部分所示。因此，的边际概率密度函数为1(2)证明：因为(0

8、是马尔可夫过程。(3)解：由(2)得其中，0

9、时刻的状态确定时，m时刻的状态与以前时刻的状态无关。所以，该过程为马尔可夫过程。其转移概率密度为2.7有三个黑球和三个白球。把六个球任意等分给甲乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后互相交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过n次交换，过程的状态为(n=1，2，3，4，…)。(1)试问此过程是否为马尔可夫链；(2)计算它的一步转移概率矩阵。(1)证明：显然，该过程由当前状态转移到另一个状态的转移概率只与当前状态和转移到的状态有关，与其它时刻的状态无关。因此，该

10、过程是为马尔可夫链。(2)解：以甲袋中的白球数i作为该过程的状态。当和3时，过程状态由i转移到j概率为优质.参考.资料WORD格式.整理版当i=0时，，；当i=3时，，。于是，一步转移概率矩阵为：2.8设是一马尔可夫链，它的状态转移空间为I：{0，1，2}，它的初始状态的概率分布为，，；它的一步转移概率矩阵为(1)计算概率；(2)计算。(1)解：由马尔可夫性可得优质.参考.资料WORD格式.整理版其中，于是(2)解：二步转移概率矩阵为所以，另一种解法是根据切普曼-柯尔莫哥洛夫方程得2.9设有马尔可夫链，它的状态转移空间为I：{0，1，2}，它的一步转移概率矩

11、阵为(1)试求，并证明；(2)求。(1)证明：和分别为优质.参考.资料WORD格式.整理版所以，(2)解：实际上，一步转移概率矩阵可以经过行列变换为由此可见，这是一个周期为2的马尔可夫链。所以，当n为奇数时n为偶数时2.10设有马尔可夫链，它的状态转移空间为I：{0，1}，它的一步转移概率矩阵为试用数学归纳法证明优质.参考.资料WORD格式.整理版证明：当n=1时，显然是成立的。假设成立，即则当时所以结论成立。2.11设有马尔可夫链，它的状态空间为，它的一步转移概率矩阵为试求（利用矩阵的特征值、特征矢量方法计算）解：解算此题有以下三种方法：[方法一]：利用矩

12、阵的相似变换：首先，容易解得矩阵的两个特征值和对应的