《直线过定点问题的探究》教学设计.doc

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1、《直线过定点问题的探究》教学设计吴兴高级中学史惠兰【教学目标】（一）知识目标：1、解析几何中直线过定点的判断与证明；2、解析几何中参数的合理选择;3、用代数方法解决几何问题.（二）能力目标：1、类比思想、数形结合思想在解析几何中的运用；2、培养学生从特殊到一般的探究能力.（三）情感目标：1、让学生经历“简单”到“复杂”、从“特殊”到“一般”探索过程,提升认知；2、培养学生勤于思考、勤于动手的学习品质，在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣.【教学重点】用类比思想探索直线过定点问题，从“特殊”到“一般”的探究.【教学难点】

2、引导学生探究,指导学生证明.【教学方式】启发探究式【教学手段】自制课件、几何画板【教学过程】一、创设情境，抛出问题给学生观看“火星生命猜想”图片，提出：科学家基于火星某些特征与地球相似，类比猜想火星有生命。这样的猜想在自然科学中非常重要，我们数学也一样。Q1：若一个直角三角形内接于圆，则它的斜边是什么？有什么特征？Q2：该直角顶点在圆周上面运动（即任一位置），则三角形的斜边是否仍然有此特征？[设计意图：1、直角三角形内接于圆，斜边过定点（圆心），该结论为学生已有知识.欲从千里目，更上一层楼，构建新知：直角三角形内接于圆

3、锥曲线，直角边是否仍然有此特征，引导学生探究，进入课题.2、几何特征代数化，是本节课的主线.]二、步步探究，层层递进师：同学们觉得圆锥曲线中哪一种较为简单？生：抛物线.师：那么我们就让直角三角形内接于抛物线，来看看斜边是否过定点.先用几何画板进行形的探索，再进行数的计算.探究1　若一个动直角三角形的直角顶点在抛物线y=x2的顶点上，另两顶点在此抛物线上，它的斜边有什么特征？[设计意图：降低起点，用最特殊的抛物线来验证，直角顶点也在特殊位置，符合最近发展区理念，更容易让学生体会探索成功的喜悦，激发学习动力.]师：既然直角

4、顶点在圆上任一位置，斜边都过定点，那么在抛物线上任一位置呢？生：应该也过定点吧！？师：眼见为实（展示几何画板），请大家证明给我看看.探究2　若把直角顶点放在其它任意位置，动直角三角形的斜边还会经过一个定点吗？[设计意图：通过几何画板演示，给予学生直观感受；而证明的过程是层层递进，从特殊到一般，激发学生探索精神，学生在追求数学真善美的过程中提升能力，感受数学魅力.]师：大家觉得我们这个结论是不是最一般的情况啊？生：感觉抛物线不是一般情况.师：是的，现在直角顶点在一般位置了，抛物线改为一般形式，也有此性质：内接于抛物线中定

5、顶点的动直角三角形的斜边过定点.很好，以上两个问题的解法用的是直接设A、B、P的坐标分别为A(x1,x),B(x2,x)，，若不用这种方法你还能用其它方法吗？刚才我看到了不同的做法，请和大家分享.生1：设A(x1,x),B(x2,x)，由探究二中解法知直线AB的方程为.同理，直线PA的方程为，直线PB的方程为.，∴，即，代入直线AB的方程中得y=(x1+x2)(x+a)+1+a2.此时斜边AB过定点.生2：设直线AB的方程为y=kx+b，方程联立，韦达定理来求解.师：这里首先考虑的是选择合理的参数设法，字母尽量少，可以

6、设点坐标（抛物线中可以用一个字母），如法一，可以设直线方程，如法三。然后是通过已知条件转化、消元，法一中消去，留下，法三中消去m,留下k。目的是为了能够判断出直线过定点。[设计意图：生1的解法可以是教师讲解，视学生操练情况而定.这里解题方法的小结有两个目的，一是就解这类题来说，可以有多种解法，让学生对抛物线问题的求解有一个全面认识；二是为下面椭圆的解法作铺垫.]师：在全面解决了抛物线问题之后，我们还能做些什么？或者说应该做些什么呢？生：其它圆锥曲线应该也有此类性质，如椭圆.探究4　若一个动直角三角形的直角顶点在椭圆的右

7、顶点上，另两个顶点在此椭圆上，它的斜边也会过定点吗？[设计意图：数学充满奥妙，师生共同展开探索的翅膀去发现、去证明，让知识的脉络更加清晰，更加完备，这样的课堂才是精彩的！]三、持续探索，意犹未尽探究5　若一个动直角三角形的直角顶点在椭圆的上顶点上，另两个顶点在此椭圆上，它的斜边也会过定点吗？探究6　若一个动直角三角形的直角顶点在椭圆上的任一固定位置，另两个顶点在此椭圆上，它的斜边也会过定点吗？探究7　内接于椭圆中定顶点的动直角三角形的斜边过定点，成立吗？师：以上探究5，6，7三个问题作为本节课的作业，请同学们自己完成.

8、有兴趣的同学还可以进一步去探究双曲线中的类似问题.