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1、直线过定点问题：1.点斜式法：将直线方程化成的形式，则定点坐标为.例1：已知直线（为常数，为参数），不论取何值，直线总过定点2.分离系数法：若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分离出来，化为的形式.由解出和的值，即得定点坐标.例2：无论取何实数，直线恒过定点，此定点坐标为3.特殊值法：例3：无论取何实值，所表示的直线恒过一定点，此定点坐标为对称问题一．点关于点的对称问题：例1：已知，，求点关于点Q的对称点的坐标.二．直线关于点的对称问题：例2：求直线：关于对称的直线的方程.三．点关于直线的对称问题：例3：求与点关于直线：对称的点的坐标.第8页共8页一．
2、直线关于直线的对称问题：例4：求直线：关于：对称的直线的方程.思维拓展：例1：在直线：上求一点P，使得：（1）P到和的距离之差最大；（2）P到和的距离之和最小.例2：在中，，点B，C分别在及轴上游动，求的周长的最小值.例3：函数的最小值是直线斜率在解题中的应用1.构造直线斜率解决数列问题.例1在等差数列中,.解:从函数的观点来看,在等差数列中,通项是自变量的一次函数,则两点即都在一次函数所对应的直线上,直线斜率为=3.由直线方程的点斜式可得:,整理得.所以.例2已知等差数列中的三个数都是正数,且公差不为零,求证它们的倒数组成的数列不可能成等差数列.第8页共8页证明:令,所以
3、不可能成等差数列.因为要成为等差数列,则A,B,C三点必须在同一条直线上.若与同时成为等差数列,则A,B,C三点共线,可得即由等式成立,所以,这与公差不为零矛盾,故不可能成等差数列.2.构造直线斜率证明不等式问题.例3已知都是正实数,并且,求证:.Y证明:如图1,在平面直角坐标系内,设点,点.由知点A在直线在(图1)第三象限的图像上,点B在直线在第一象限的图像的下方,于是可得斜率,即.原不等式得证.3.构造直线斜率求三角函数值域.例4求函数的值域.第8页共8页分析:注意到函数式为点与点的连线的斜率且点在圆上,问题就解决了.解:表示点与点的连线的斜率,而在圆上.如图2,过点A
4、OX作单位圆的切线AB和AC.可设切线方程为C,则有,整理可解得(图2).于是所求函数的值域为.例4当时，函数的最小值是（）A.2B.C.4D.解：原式化简为，则y看作点A（0，5）与点的连线的斜率。第8页共8页图3因为点B的轨迹是即过A作直线，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由图象知k的最小值是4，故选C。说明：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。4.构造直线斜率解决变量或参数范围问题.例5若在圆上运动,求的取值范围.解:因为是直线的斜率.在圆上,当点是由原点O向圆作切线的切点时(如图3),取
5、到最大值与最小值.设直线的斜率为,直线的方程为,圆心C的坐标为,半径为.由于圆心C到切线的距离等于半径,于是可得方程:(图3)第8页共8页解得.所以的取值范围为.例6若关于的方程组的解中,有一组全为负值,求的取值范围.Y解:从形的角度入手,方程(1)变形为,它表示过定点,斜率为的直线方程.方程(2)表示以为圆心,半径为4的圆,如图4.满足条件的应满足.这样交点才能落在劣弧AB上,而.(图4)因此.5.解应用问题例7.如图6，A、B、C、D四村在矩形ABCD的四个顶点处，千米，BC＝4千米，在四村之间要修如图所示的路，其中。怎样修才能使总的路长最短？第8页共8页图6解：分别延
6、长FE、EF与AB交于H，与DC交于G设（α为锐角），则则道路总长要求s的最小值，只需求的最小值，即求点P（0，2）与点Q（）所成直线的斜率的最小值。因为Q点的轨迹为如图7，由点P、Q所确定的直线方程为图7当直线与相切时，，即α＝60°6比较大小例8.若，则（）A.B.C.D.第8页共8页解：因为，表示函数的图象上的点（x，y）与坐标原点O连线的斜率，如图1，则图1由图象可知：即，选C。说明：也可以考察函数的单调性，即利用它的导数来严格求解，但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线上的点与原点的直线的斜率，问题便可直观、简捷地解出，但图形须相对准确。第8页共
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