过定点直线和双曲线公共点问题浅谈

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1、过定点直线和双曲线公共点问题浅谈　　摘要：直线与双曲线的公共点问题是直线与圆锥曲线公共点问题中相对比较复杂的，问题设置非常灵活，学生比较难理解和掌握这类问题。本文通过对一道典型例题分析，归纳出过定点的直线与双曲线的公共点问题的本质，整理出这类问题的解决方法，一是代数方法，通过联立直线和双曲线方程，消元后，研究判别式的符号来研究公共点个数，该方法运算量大，学生不易掌握；另一种方法是几何法，通过数形结合，利用直线与双曲线相切和直线与双曲线渐近线平行为临界，通过旋转直线可得结果。关键词：直线；双曲线；公共点；直线与曲线相交中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-93

2、24（2013）41-0095-02在高中数学《圆锥曲线》一章中，经常遇到研究直线与圆锥曲线的公共点个数的问题，题目设置比较灵活，陷阱比较多，学生在处理这类问题时经常漏解，下面探讨过定点的直线与双曲线公共点问题的处理方法。一、过定点的直线与双曲线公共点问题的代数和几何解法分析引例、过点P（4，3）作与双曲线■-■=1只有一个公共点的直线有（？摇？摇6）A.1条？摇B.2条？摇C.3条？摇D.4条？摇（答案：B）对于直线与圆锥曲线的交点问题，常规处理方法不外乎是几何法和代数法，几何法就是数形结合，考虑两种情况，一是直线与双曲线相切，一是直线与双曲线的渐近线平行，代数法是设出直线方

3、程，与圆锥曲线联立组成方程组，考虑解的个数，因此得到以下两种解法：解法一：从双曲线的图像来分析，点P恰好在双曲线的一条渐近线上，因此，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一条直线符合要求，当直线与双曲线相切时，也只有一条直线符合要求，即x=4。因此，符合要求的直线共有两条。这种处理方法好处是直观，通过作图分析就可以得出结论，缺点是必须考虑该点所处的位置，位置不一样得出的结果不同，这是学生比较难掌握的，也是在教学过程中普遍出现的问题。解法二：从方程组的解的个数上看，当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，代入方程只有一解，符合要求，这也是直线与双曲线相切时的情形。当直线斜率存在时，设

4、直线方程为y-3=k（x-4），与双曲线联立组成方程组，化简得（9-16k2）x2-32k（3-4k）x-16[（3-4k2）+9]=0，当9-16k2=0时，k=±■，当k=■时，方程无解，当k=-■时，方程有一解。当9-16k2≠0时，令Δ=b2-4ac=0，算得k=■，不合题意。综上所述，符合要求的直线只有两条。这种解法优点是思路非常直接，但解题过程并不能一帆风顺，到处都有陷阱，这是代数法解决这类问题的缺点。6二、过定点的直线与双曲线的公共点个数问题归纳对于这类过定点P的直线与双曲线的公共点的问题，由于P点位置不同，导致直线与双曲线有唯一公共点的直线条数变化，归纳起来只有

5、以下几种情形，学生只要掌握分析的方法，应不难掌握。1.点P恰好在双曲线的渐近线上（双曲线的中心除外），过点P作与双曲线只有一个公共点的直线有两条。这个结论就是引例的类型。2.点P在双曲线外，过点P作与双曲线只有一个公共点的直线有四条。分别是两条与双曲线渐近线平行的直线，另两条直线与双曲线相切。3.点P在双曲线内，过点P作与双曲线只有一个公共点的直线有两条。由于点P在双曲线内，不存在与双曲线相切的直线，符合条件的直线只有两条，这两条直线与双曲线的渐近线平行。4.当点P在双曲线上时，过点P作与双曲线只有一个公共点的直线有三条。这三条直线中，有两条与双曲线的渐近线平行，另一条直线是双

6、曲线的切线。特别地，当P点在双曲线的顶点时，过P且与双曲线相切的直线是没有斜率的，如果用解法二，通过运算的方法来解决这个问题时，特别要引起注意。65.当P点是双曲线的中心时，过点P作与双曲线只有一个公共点的直线不存在。三、过定点的直线与双曲线公共点问题实例剖析学生掌握了这五种情形后，就可以处理类似的问题。例题分析：若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6只有一个公共点，那么实数k的值是（）。A.■，1B.±■C.±1D.±■，±1。解析一：将直线方程代入双曲线方程消去y，得x2-（kx+2）2=6，即（1-k2）x2-4kx-10=0，对k≠±1，由判别式Δ=16k2+40（1

7、-k2）=0，得k=±■；当k=±1时，方程（1-k2）x2-4kx-10=0变化为一次方程，方程只有唯一的实根，因此直线和双曲线只有一个公共点，故选D。解析二：由引例，直线y=kx+2必过定点P（0，2），P位于双曲外线，过P且与双曲线有唯一公共点的直线必有四条，即可选出答案D。例题变式1：若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左右两支各有个公共点，那么实数k的取值范围是；解析：由x1x2=-■0得-■0且x1+x2=-■>0得k0得-■0且x1+x2=■1，又由Δ=16k2+40（1