《关于清华简〈算表〉的运算范围》续.doc

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1、《关于清华简〈算表〉的运算范围》续李均明（清华大学出土文献研究与保护中心）前文已述，清华简《算表》之一次使用可以进行被乘数与乘数为495以内的乘法运算，这是它自身的构造所决定的。再者，这些功能的发挥，还取决于社会需求的推动及数学理论的支持，而这些条件在当时都能得到充分的满足。关于社会生活的需求与两位数以上运算的普遍性。首先，先秦社会对两位数以上运算的需求已非常普遍。战国晚期中山王墓出土《兆域图》铜版：“王堂方二百尺，丘平者五十尺，其坡五十尺，王后堂方二百尺，其葬，视寕后，丘平者五十尺，其坡五十尺，寕后堂方二百尺，丘平者五十尺，其坡五十尺，□堂方百五十尺…

2、…”中国社会科学院考古研究所：《殷周金文集成》，中华书局2007年版5632、5633页16.10478根据所见面积，许多乘积已超过9×9＝81的范围，所以涉及之乘数或被乘数必然含有两位数。直接涉及楚地的资料，如《包山楚简·贷金》107简：“羕陵攻尹怠与尹黄为羕陵贷越异之金三十镒二镒以籴种。讫幾不赛金”所贷金三十二镒用以购入种子时可能涉及两位数运算。又同书115简所贷金更达“一百镒二镒四两”，用作支付时，则可能涉及三位数的运算。而涉及面最广，应用最普遍的当数土地尤其是耕地面积的计算。耕地是农民籍以生存的根本，而田税是国家税收的主要来源，因此耕地面积及相关

3、赋税的计算涉及绝大多数家庭及下至基层上至朝廷的各级行政机构。而当时的亩制，不管是百步为亩，还是二百四十步为亩，都涉及两位乃至三位数的运算。《周礼·地官·大司徒》：“不易之地，家百亩；一易之地，家二百亩；再易之地，家三百亩”阮刻《十三经注疏》（台北）艺文印书馆股份有限公司2007年版156页。，对这些耕地收税，则涉及三位数的运算。如此形势之下，很难想象，《算表》的运算范围，能停止于乘数与被乘数99之内。再者，当时的数学理论已达到相当高的水平。在社会需求的推动下，数学理论与运算水平必然随之发展，今天虽然看不到年代与《算表》完全相同的理论书籍，但岳麓书院藏秦简

4、《数》的出现给我们提供了不可多得的参照朱汉民、陈松长主编：《岳麓书院藏秦简（贰）》，上海辞书出版社，２０１１年版。。据整理者介绍，《数》的形成时间不晚于秦始皇三十五年（公元前212年），与清华简《算表》的距离尚在百年之内。《数》的算题涉及《九章算术》的“方亩”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、商功“、”均输“、“盈不足”、“勾股”八章的内容，是一部实用的算法式数学文献抄本。它产生的年代当更早，距《算表》的年代当更近，其实用性特点与《算表》也完全一致。所以，考察《数》的内容，对理解《算表》的功能有直接的帮助。秦简《数》中屡见不鲜之以多个数（包括分数、个位数、

5、十位数）之和为乘数、被乘数或除数、被除数的现象尤其值得关注，举例如下：（一）《数·面积类算题》0829：“（田）广十五步大半＝（半）步，从（纵）十六步少半＝（半），成田【一亩】卅二步卅六分步五。述（术）曰：同母，子相从，以分子相乘。”整理者列式为：(15﹢﹢)×(16﹢﹢)＝272(平方步)，即一亩又32。(二)《数·面积类算题》1742：“田广六步半步四分步三，从（纵）七步大半步五分步三，成田五十九步有（又）十五分步之十四。”整理者列式为：（6﹢﹢）×(7﹢﹢)＝59（三）《数·面积类算题》0935：“【田方】五步半步三分步一，四分步一，五分步一，六分

6、步一，七分步一，成田卌三步万九千六【分步之九千百廿九】。”整理者列式为：（5﹢﹢﹢﹢﹢﹢）2＝＝43（平方步）（四）《数·衰分类算题》0772、1669+0859：“衰分之述（术）。耤有五人，此共买盐一石，一【人出十】钱，一人廿钱，【一】人出卅钱，一人出卌钱，一人出五十钱，今且相去也，欲以钱少【多】分盐。其述（术）曰：并五人钱以为法，有（又）各异置【钱】……【以】一石盐乘之以为（实）﹦，（实）如法一斗。”整理者列式为：出十钱人分得盐：（10钱×1石）÷（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）.出钱人分得盐：（20钱×1石）÷（10钱+20钱+30钱+4

7、0钱+50钱）。出卅钱人分得盐：（30钱×1石）÷（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）。出卌钱人分得盐：（40钱×1石）÷（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）。出五十钱人分得盐：（50钱×1石）÷（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）。（五）《数·体积类算题》1740、1746：“……尺，积尺万五千六百。术曰：上后（厚）乘上袤，下后（厚）乘下袤，并之，有（又）并上下袤相乘也，同之二千六百，以高乘之，六乘一。”整理者云：“因算题不完整，上袤、下袤、上后、下后四个数据缺失。复原方案可有多种，例如：上袤一丈，下袤二丈，上后二丈，下后三丈六尺，高

8、三丈六尺。算式为：[10×20﹢20×36﹢(20﹢36)×(10﹢20)]×3