《勾股定理》主要题型.doc

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1、《勾股定理》主要题型题型一：直接考查勾股定理，已知两边求第三边例：:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?解：∵∠ACD=90°AD=13,CD=12∴AC2=AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB=4例、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？类型二：勾股定理的构造应用例、如

2、图，已知：，，于P.求证：.解：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.题型三：在数轴上表示无理数例、在数轴上作出表示的点．解：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：以为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为的线段即可．6题型四：利用勾股定理测量长度例、如图（8），水

3、池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2，设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.题型五：利用勾股定理求线段的长1、如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解：根据题意得Rt△ADE≌R

4、t△AEF∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42∴64－16x+x2=2+16∴x=3(cm),即CE=3cm例、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD．解：∵BC=14，且BC=BD+DC，设BD=

5、x，则DC=14﹣x，则在直角△ABD中，AB2=AD2+BD2，即132=AD2+x2，在直角△ACD中，AC2=AD2+CD2，即152=AD2+（14﹣x）2，整理计算得x=5，∴AD==12，类型六：数学思想方法（一）转化的思想方法例、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。解：连接AD．∵∠BAC=90°，AB=AC．又∵AD为△ABC的中线，∴AD=DC=DB．AD⊥BC

6、．且∠BAD=∠C=45°．∵∠EDA+∠ADF=90°．又∵∠CDF+∠ADF=90°．6∴∠EDA=∠CDF．∴△AED≌△CFD（ASA）．∴AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中，根据勾股定理得：，∴EF=13。注：解当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中题型时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法例、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，则，

7、由勾股定理，得。因为，所以，，，。例、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，∴。∴。设，则。在Rt△ECF中，，即，解得。即EF的长为5cm。题型七：关于翻折问题如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），

8、且AB=6，BC=10。设AE=x，则x的取值范围是　　　　.解：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，x2＋y2＝（6－y）2，即（，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝时,x取最小值2，故有2≤x≤6题型八：关于最短性问题ADEBC1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？6例、如图，某学校（A点