2019高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性课件理新人教b版

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1、2.3函数的奇偶性与周期性-2-知识梳理考点自测1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点-3-知识梳理考点自测2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0;②对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数-4-知识梳理考点自测1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(

2、x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(

3、x

4、).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.-5-知识梳理考点自测2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a>0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;-6-知识梳理考点自测3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直

5、线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.(4)若y=f(x)对任意的x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线-7-知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=x2在区间(0,+∞)内是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)

6、的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-∞,0)内f(x)是减少的,则在(0,+∞)内f(x)是增加的.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×-8-知识梳理考点自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x

7、(1+x),则当x<0时,f(x)的解析式为()A.f(x)=x(1+x)B.f(x)=x(1-x)C.f(x)=-x(1+x)D.f(x)=x(x-1)-9-知识梳理考点自测23415答案解析解析关闭(方法一)由题意得f(2)=2×(1+2)=6.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-2)=-6.经验证,仅有f(x)=x(1-x)时,f(-2)=-6.故选B.(方法二)当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x[1+(-x)].又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴-f(x)=-x(1-x),∴f(x)=x(1-x),故选B.答案解析关闭B4.已知函数f(x)是奇函数,在区间(

8、0,+∞)内是减函数,且在区间[a,b](a

9、=x2-2x,则f(2017)=.-12-考点1考点2考点3考点4-13-考点1考点2考点3考点4即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)由题意知函数的定义域为{x

10、x≠0},关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x∈(