四边形中的动点问题.doc

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1、四边形中的动点问题洪飞动态几何问题是几何图形中常见问题，是中考的常见题型，有关四边形的动点问题常常与函数关系式、图形的面积是否发生变化联系在一起,既考查同学们对基础知识的掌握情况,又考查同学们对知识的综合运用能力.现举例进行点评,供同学们学习1.以平行四边形有关的动点问题例1（2011年湖北省襄阳市中考题）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运

2、动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝＿＿＿秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.DCBAQEP图2DCBAQEP图3DCBAQEP图1分析　由条件，得AD∥BC，再结合图形可知当PD＝EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，此时，应注意点Q的位置，所以应分情况求解.解　依题意，得AP＝t，CQ＝2t，CE＝BC＝8.因为AD∥BC，所以当PD＝EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.下面分两种情况：当2t＜8，即t＜4时，点Q在C，E之间，如图2.此时，PD＝AD

3、－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，由6－t＝8－2t，得t＝2.当2t＞8，即t＞4时，点Q在B，E之间，如图3.此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8，由6－t＝2t－8，得t＝.所以当运动时间t＝2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.点评　本题具有一定的开放性，解答这类问题时，一定要依据条件，结合图形，把握住“变”与“不变”的关系，注意分类讨论，利用方程求解.2.以矩形有关的动点问题NMCBAEFOD例2（2011年山东省滨州市中考题）如图4，在△ABC中

4、，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.图4分析　矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，则只有点O运动到AC的中点时，才能出现平分，才可能是平行四边形，才可能是矩形.解　当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，四边形AECF是矩形.证明：因为CE平分∠BCA，所以∠BCE＝∠ACE.又因为MN∥BC，所以∠BCE＝∠CEF，所以∠C

5、EF＝∠ACE，所以EO＝CO.同理，得FO＝CO.所以EO＝FO.而OA＝OC，所以四边形AECF是平行四边形.又因为∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，所以∠BCE+∠DCF＝∠ACE+∠ACF.因为∠BCE+∠DCF+∠ACE+∠ACF＝180°，所以∠ACE+∠ACF＝90°，所以四边形AECF是矩形.点评　本题中在得到四边形AECF是平行四边形后，也可以设法证明对角线相等.即因为EO＝CO，FO＝CO，OA＝OC，所以EO＝CO＝FO＝OA，即AC＝EF，所以平行四边形AECF是矩形.3以正方形

6、有关的动点问题例3（2011年四川省宜宾市中考题）如图5，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图像能大致反映y与x的函数关系的是（）分析函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，动点问题反映的是一种函数思想，要分情况讨论y与x的函数关系。解当点P在CD上（）时，A、P、D三点能组成三角形，且其面积；当点P在BC上（）时，A、P、D三点能组成三角形，且其面积；当点P在AB上（）时，A、P、D三点能组

7、成三角形，且其面积．即然后在直角坐标系中依次作出三个函数的图像，可得答案为B．点评要确定函数图像，应先探究其函数解析式；搞清动点P运动的路线及字母x、y的含义，是解答本题的关键．4.以菱形有关的.动点问题ODCBAPQ例4（2011年湖南省株洲市中考题）如图6，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.（1）求证：OP＝OQ；（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时

8、，四边形PBQD是菱形.图6分析（1）首先根据矩形的性质得到对边平行，然后再根据平行线的性质得到相等的角，从而证明两个三角形全等，得到OP＝OQ.（2）首先根据菱形的四条边都相等，得到PB＝PD，然后在Rt△ABP中由勾股定理，可建立关于t的方程，问题可求解.解（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠PDO＝∠QBO，又OB＝OD，∠POD＝∠QOB，所以△POD≌△QOB，所以