三余弦公式的推导及其应用

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1、三余弦公式的推导及其应用——教材研究1.公式的推证及两个重要推论命题：设OB丄平而6Z,B为垂足，OA是平而6Z的斜线，A为斜足.ZOAB=0,/是平而6Z闪的任一直线，/与AB所成的角为6，/与0A所成的角为<9，如图1.则：cos0=coscos32（三余弦公式）.证法1:过斜足A引/的平行线AC，则ZOAC=0，ZBAC=&.再过B作BC丄AC,连0C，则易知AC丄OC,由过角三角形屮三角函数的定义杏：cos0—―—,COS^

2、=—，cos沒，=——cos0—COS0^COS.OA1OA-AB_证法2:设

3、X5

4、=1,WIJIAB

5、=

6、AOIcos^,=COS^,,/.

7、AC

8、=

9、

10、A51cos=cos6^,cos.又•••

11、AC=AOcos3=cos0,...cosd=cos0•cos沒2.由于.所以cosOfO，贝Ijcos沒=0<=>COS02=0，由此nJ•得：推论1:沒=90g»A=90g——此即三垂线及其逆定理.又由于O

12、S丄平而BSC,由三余弦公式知：cosZABOcosZABS.cosZCBS,•••ZCBS,ZABS都是锐角•••cosZABS，cosZCBS都人于0,从而cosZABC人于0.B又•••ZABC是三角形的一内角，ZABC是锐角.同理可得：ZBAC、ZBCA也都是锐角.故三角形ABC是锐角三角形.注：此问题的证法很多,上述证法是证明此结论的所有证法中较为简单的一种.想一想①：己知平面汉丄夕，直线AB与汉、/?所成的角分別为3，沒2,则（）.A.等于90°,B.小于90°,C.不大于9（T,D.不小于90°.§2.2利用它处理与线面所成角有关的问题：例2.PA、PB、PC足从点P引出的

13、三条射线，每两条射线的火角均为60Q，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）.A.丄，B.V6,232阁3解：如阁3,•••ZCPB=ZAPC=60°PC在平面APB上的射影PD足ZAPB的角平分线，即ZDPB=30°.由三余弦公式得：cos60°=cos30。•cosZDPC则cosZDPOW.3p即莨线PC与平PAB所成角的余弦值为么.故选C.3例3.有一东两方的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B，探照灯在点B的［永北方向，照射B点的光线与地側成60°角，求该光线与岸边所成角的余弦值.解:如图4,设AD为探照灯，BC为河岸，则AD丄水平而ABC,山已知有：ZABC=

14、45°，ZABD=60°.由三余弦公式得：cosZDBC=cos45°•cos60°=芯.4即灯光与岸边所成角的余弦值足.4Bc东想一想②：^14设正四面体ABCD的棱长为a,求点A到平面BCD的距离A0及其体积.【引申】通常情况卜沒与沒2是锐角.若沒与沒2同为钝角吋，三余弦公式仍成立，且有更广泛的用途.例4.如图5.在直二血角汉一/一/?的棱/上杏点A，在内各杳一条射线AB、AC，它们与/均成45°的角，.HAB在平而汉内，AC在平而夕内，求ZBAC的大小.丄2解：（1）当AB、AC是如图所不状态时，•••二血角汉一I一是直二角，•••以丄/?.过B作BD垂直/于D,由三余弦公式得：c

15、osZBAC=cos45°•cos45°=1,...ZBAC=60°.2(2)当AC是如图所示AC:状态时，cosZBAC=cos45°•cosl35ZBAC=120°综上知ZBAC=60°或120°.A图6BAB例5.已知正方形ABCD的边长为4,M、N分别是边AD、BC上的点，MN//AB,MNnAC=0.现正方形ABCD沿MN折成直二而角（如聞6），D

16、D

17、设AM=BN=x（0

18、论.若换个角度来看：则易知：ZN0C=45°,ZN0A=135°，由三余弦公式冇：cosZAOC=cos45°•cosl35°=-丄，可很快可得结论.2点评：由以上儿例可以看出，在涉及直线与T•面所成角的问题吋.若能充分利川三余弦公式,可做到思路简单、计算简便，收到事半功倍之效.想一想③：如阁7.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二而角B—AC—D，E、F分别是AD、BC的巾点，0足正方形的中心，求折起后ZE0F的人小.§2.3.利