三余弦公式的推导及其应用.doc

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1、三余弦公式的推导及其应用——教材研究1.公式的推证及两个重要推论θθ2OABClθ1图1命题：设OB⊥平面，B为垂足，OA是平面的斜线，A为斜足.∠OAB=，l是平面内的任一直线，l与AB所成的角为，l与OA所成的角为，如图1.则：（三余弦公式）.证法1：过斜足A引l的平行线AC，则∠OAC=,∠BAC=.再过B作BC⊥AC，连OC，则易知AC⊥OC，由直角三角形中三角函数的定义有：∴.证法2：设，则,∴.又∵，∴.由于0＜θ1＜90°.所以cosθ1≠0，则，由此可得：推论1：——此即三垂线及其逆定理.又由于0

2、＜＜1所以＜cosθ1，从而θ1＜，由此可得：推论2：（最小角定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.2.公式的应用举例ASBC图2§2.1.在几何论证方面的应用：例1.求证:将长方体截取一角后的截面是锐角三角形.证明：如图2，设四面体SABC是长方体截取一角，则易知：AS⊥平面BSC，由三余弦公式知：cos∠ABC=cos∠ABS·cos∠CBS，∵∠CBS，∠ABS都是锐角∴cos∠ABS,cos∠CBS都大于0，从而cos∠ABC大于0.又∵∠ABC是三

3、角形的一内角,∴∠ABC是锐角.同理可得：∠BAC、∠BCA也都是锐角.故三角形ABC是锐角三角形.注：此问题的证法很多,上述证法是证明此结论的所有证法中较为简单的一种.想一想①：已知平面，直线AB与、所成的角分别为，则（）.A.等于90°，B.小于90°，C.不大于90°，D.不小于90°.§2.2利用它处理与线面所成角有关的问题：例2.PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）.A.，B.，C.，D..PCABD图3解：如图3，∵∠CPB=∠

4、APC=60°∴PC在平面APB上的射影PD是∠APB的角平分线，即∠DPB=30°.由三余弦公式得：cos60°=cos30°·cos∠DPC则cos∠DPC=.即直线PC与平面PAB所成角的余弦值为.故选C.例3.有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B，探照灯在点B的正东北方向，照射B点的光线与地面成60°角，求该光线与岸边所成角的余弦值.DBCA东图4解：如图4，设AD为探照灯，BC为河岸，则AD⊥水平面ABC，由已知有：∠ABC=45°，∠ABD=60°.由三余弦公式得：cos∠D

5、BC=cos45°·cos60°=.即灯光与岸边所成角的余弦值是.想一想②：设正四面体ABCD的棱长为a，求点A到平面BCD的距离AO及其体积.【引申】通常情况下与2是锐角.若与2同为钝角时，三余弦公式仍成立，且有更广泛的用途.ABCDC1βαl图5例4.如图5.在直二面角的棱l上有点A,在内各有一条射线AB、AC，它们与l均成45°的角，且AB在平面内，AC在平面内，求∠BAC的大小.解：（1）当AB、AC是如图所示状态时，∵二面角是直二面角，∴.过B作BD垂直l于D，由三余弦公式得:cos∠BAC=cos45

6、°·cos45°=,∴∠BAC=60°.（2）当AC是如图所示AC1状态时，cos∠BAC=cos45°·cos135°=-∴∠BAC=120°综上知∠BAC=60°或120°.ABNMOCDDCNMABO图6例5.已知正方形ABCD的边长为4，M、N分别是边AD、BC上的点，MN∥AB,MN∩AC=O.现正方形ABCD沿MN折成直二面角(如图6),设AM=BN=x（0＜x＜4），问.当MN平行移动时,∠AOC是否发生变化?试说明理由.解：此题的常规方法是：通过计算，将AO、OC、AC分别用x表示出来，然后由余弦

7、定理算出cos∠AOC=-是常数(计算量较大).从而得出结论.若换个角度来看：则易知：∠NOC=45°,∠NOA=135°,由三余弦公式有：cos∠AOC=cos45°·cos135°=-，可很快可得结论.点评：由以上几例可以看出，在涉及直线与平面所成角的问题时.若能充分利用三余弦公式，可做到思路简单、计算简便，收到事半功倍之效.FBFAEDCMOAEDBCMO图7想一想③：如图7.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角B—AC—D，E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形的中心，求折起后∠EOF的大小.§2.

8、3.利用它处理与两异面直线所成角有关的问题：例6.如图8所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1C1、C1C上，且ABCDD1A1B1C1FE图8,求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.解：∵A1B1⊥平面BB1C1C∴A1B与平面BB1C1C所成角为45°.又∵,∴∠EFC1=30°即EF与C1C所成角为30°,亦即EF与B1B所成角为30