立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第2课时空间图形的公理4及等角定理学案北师大版必修2

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1、第2课时　空间图形的公理4及等角定理1.掌握公理4和“等角定理”.(重点)2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角.(难点)[基础·初探]教材整理1　公理4阅读教材P25“公理4”部分，完成下列问题.1.条件：两条直线平行于同一条直线.2.结论：这两条直线平行.3.符号表述：⇒a∥c.已知a，b是平行直线，直线c∥直线a，则c与b(　　)A.不平行B.相交C.平行D.垂直【解析】　若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不与b平行.【答案】　C教材整理2　等角定理阅读教材P26“等角

2、定理”部分内容，完成下列问题.1.条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行.2.结论：这两个角相等或互补.空间中一个角A的两边分别与另一个角B的两边对应平行，若A＝70°，则B＝______.【解析】　若A的两边与B的两边方向均相同或均相反，则B＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B＝110°.【答案】　70°或110°教材整理3　异面直线所成的角阅读教材P26有关部分，完成下列问题.9定义过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就

3、是异面直线a，b所成的角取值范围异面直线所成的角θ的取值范围：特例当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与BC1所成的角的大小为________.【解析】　∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1为直线AA1与BC1所成的角，其大小为45°.【答案】　45°[小组合作型]公理4的应用　如图1411，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.图1411(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.【导学号：3929202

4、0】【精彩点拨】　(1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定理证明.(2)若四边形EFGH是矩形，则EH⊥GH，从而推知AC⊥BD.【自主解答】　(1)如题图，在△ABD中，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH＝BD.又FG是△CBD的中位线，9∴FG∥BD，FG＝BD，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识证明，如三

5、角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.[再练一题]1.已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点.图1412求证：四边形MNA′C′是梯形.【证明】　连接AC(图略).∵M，N为CD，AD的中点，∴MNAC.由正方体性质可知ACA′C′，∴MNA′C′，∴四边形MNA′C′是梯形.等角定理的应用　如图1413，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.图14139(1)求证：四边形BB1M1

6、M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】　(1)利用公理4进行平行之间的转化，得到平行关系.(2)利用等角定理证明两角相等.【自主解答】　(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体，∴ADA1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AMA1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1

7、∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.2.证明角相等，

8、一般采用以下途径(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.9[再练一题]2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.图1414【