立体几何初步1.7简单几何体的面积和体积1.7.1柱、锥、台的侧面展开与面积学案北师大版必修2

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1、7.1　柱、锥、台的侧面展开与面积1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来.2.准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法.(重点)3.掌握简单组合体侧面积的计算.(难点)[基础·初探]教材整理1　圆柱、圆锥、圆台的侧面积阅读教材P44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以上部分，完成下列问题.几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝2πrlr为底面半径l为侧面母线长圆锥S圆锥侧＝πrlr为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长圆台的上、下

2、底面半径分别是3和4，母线长为6，则其侧面积等于(　　)A.72B.42π　　　　C.67π　　D.72π【解析】　S圆台侧＝πl(r1＋r2)＝π×6×(3＋4)＝42π.【答案】　B教材整理2　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积阅读教材P44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以下至P45“例1”以上部分，完成下列问题.几何体侧面展开图侧面积公式8直棱柱S直棱柱侧＝chc为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧＝ch′c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧＝(c＋c′)h′c′为上底面周长c为下底面周长

3、h′为斜高，即侧面等腰梯形的高正三棱台的两个底面边长分别等于8cm和18cm，侧棱长为13cm.求它的侧面积.【解】　正三棱台的三个侧面是全等的等腰梯形，梯形的高h＝＝12cm，所以S侧＝×(3×18＋3×8)×12＝468cm2.[小组合作型]圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积　如图171所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【导学号：39292045】8图171【精彩点拨】　【自主解答】　以AB所在

4、直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4cm，下底半径是16cm，母线DC＝＝13(cm)，∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2).1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键.2.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积.[再练一题]1.圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(

5、　　)A.4πSB.2πS　　　C.πS　D.πS【解析】　设底面半径为r，则S＝πr2，则r＝，所以底面周长为2πr＝2π，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr＝2·π，∴S侧＝2πr·l＝(2πr)2＝4π2·r2＝4π2＝4πS.【答案】　A直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积　正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积.【精彩点拨】　在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积.【自主解答】　设正三棱锥底面边长为a，斜高为

6、h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.因为S侧＝2S底，8所以×3a×h′＝a2×2，所以a＝h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，所以32＋＝h′2，所以h′＝2，所以a＝h′＝6，所以S底＝a2＝×62＝9，所以S侧＝2S底＝18，则S表＝S侧＋S底＝27.1.正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单.2.多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和.对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要

7、构造直角梯形或等腰梯形来求解.[再练一题]2.已知正四棱台上底面边长为4cm，侧棱和下底面边长都是8cm，求它的侧面积.【解】　法一：在Rt△B1FB中，B1F＝h′，BF＝(8－4)＝2(cm)，B1B＝8(cm)，∴B1F＝＝2(cm)，∴h′＝B1F＝2(cm)，∴S正棱台侧＝×4×(4＋8)×2＝48(cm2).法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝x(cm)，则＝，得x＝8(cm)，∴PB1＝B1B＝8(cm)，∴E1为PE的中点，∴PE1＝＝2(cm).PE＝2PE1＝4(cm)，8∴S

8、正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧＝4××8×PE－4××4×PE1＝4××8×4－4××4×2＝48(cm2).[探究共研型]组合体的表面积探究1　如图172所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个底面直径为1的圆柱形孔，求所得几何体的表面积.图172【提示】　几何体的表面积为S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5