2018年高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.2直接证明与间接证明学案理

《2018年高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.2直接证明与间接证明学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§12.2　直接证明与间接证明考纲展示►　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解反证法的思考过程和特点．考点1　分析法分析法(1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：→→→…→.答案：(1)结论　充分条件(1)[教材习题改编]命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程“

2、cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了________．答案：综合法解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件到结论，所以该命题的证明过程应用了综合法．(2)[教材习题改编]用分析法证明不等式＋<2(n>0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________．答案：0<4解析：要证＋<2，即证2n＋4＋2<4(n＋2)，即证

3、证明不等式＋<2，是否可以把“＋<2”作已知条件？________.(填“是”或“否”)答案：否解析：要证明不等式＋<2，只需证明不等式(＋)2<(2)2，逐步推出结论成立的充分条件，不能把“＋<2”作为已知条件使用．[典题1]　(1)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.[证明]　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋

4、b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.(2)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[点石成金]　1.利用分

5、析法证明问题的思路-10-先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．考点2　综合法综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法

6、叫做综合法．(2)框图表示：→→→…→(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．答案：(1)推理论证　成立[教材习题改编]在△ABC中，若内角A，B，C成等差数列，且b＝a，则用综合法推得△ABC的形状是________．答案：直角三角形解析：因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C.又A＋B＋C＝180°，解得B＝60°.又b＝a，根据正弦定理得sinB＝sinA，得sinA＝，所以A＝30°(因为b>a，且B＝60°，所以A≠150°)，所以C＝90°，即△ABC是直角三角形.

7、证明的两种常见方法：综合法；分析法．(1)设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，证明a>b应选用的方法是________．答案：综合法解析：∵当x<0时，b＝ex，∴0b.故应选用综合法．-10-(2)证明不等式＋<＋最合适的方法是________．答案：分析法解析：要证明不等式＋<＋，只需证明不等式(＋)2<(＋)2，逐步推出结论成立的充分条件．故应选用分析法．[典题2]　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.

8、[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.[点石成金]　用综合法证题是从已知