（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.2 直接证明与间接证明 文

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.2直接证明与间接证明文1．直接证明(1)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．②框图表示：⇒…⇒…⇒③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②框图表示：⇐…⇐…⇐③思维过程：执果索因．2．间接证明(1)

2、反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)反证法的步骤：①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结

3、论成立的充要条件．(　×　)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

4、cn＋1

5、确的序号)．①2ab－1－a2b2≤0；②a2＋b2－1－≤0；③－1－a2b2≤0；④(a2－1)(b2－1)≥0.答案　④解析　a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.4．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是__________________．答案　a≥0，b≥0且a≠b解析　∵a＋b－(a＋b)＝(a－b)＋(b－a)＝(－)(a－b)＝(－)2(＋)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.5．(教材

6、改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________三角形．答案　等边解析　由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．题型一　综合法的应用例1　已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N*)．(1)证明数列{}是等差数

7、列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anan＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<.(1)解　由已知可得，当n∈N*时，an＋1＝.两边取倒数得，＝＝＋3，即－＝3，所以数列{}是首项为＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为＝＋(n－1)×3＝2＋(n－1)×3＝3n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)证明　由(1)知an＝，故bn＝anan＋1＝×＝＝(－)，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＝(－)＝－×.因为>0，所以

8、Tn<.思维升华　(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．　设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设知(a＋b＋c)2＝1，即a