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1、编号毕业论文（2013届本科）题目:学院:专业:作者姓名:指导教师:完成日期:切比雪夫不等式的推广及应用:学与统计学院:学与应用数学职称：2013年5月24日二O—三年五月切比雪夫不等式的推广及应用摘要本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广，并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式，证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.关键词切比雪夫不等式;推广;应用；实例.中图分类号0211.1ThepromotionandapplicationofchebyshevinequalitySongQiaoguoInstructo
2、rZhuFuguo(No.25,Class1of2013,SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Chebyshevinequalityispresentedinthispaperthethreeformsofpromotion,andusethechebyshevinequalitystudyrandomvariablesintotheprobabilityofacertainarea，solvingtheprobabil
3、ityofinequality，provechebyshevtheoremoflargenumberandtheapplicationofthefouraspects,suchasspecialinequalities.Abstract:chebyshevinequality;Promotion;Applications;Theinstance1引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一，尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础，而切比雪夫不等式又是证
4、明它的重耍途径.作为一种理论工具，切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善，但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少，但不够广泛.我们知道，数学的各门分支之间都是有一定联系的，若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用，则既加深了对知识的理解，贯通了新旧知识的联系，又拓宽了知识的应用范围，同时也活跃了思维，无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃.对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常有价值的研宂方向，通过对这些问题的应用推广，不仅能加深对切比雪夫不等式的理解，而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.2预备
5、知识定义1M(切比雪夫不等式)若随机变量X有数学期望和方差,则对于任意的正数£〉0，总有：P{
6、X-£(x)>e}<定义2121如果函数/(%)和g(x)对于一切Xj,x2均成立(/(》)-/(X))U(xi)—则称/W与gW成似序;倘若反向的不等式成立,则称/O)与g(X)成反序.定义3W设连续型随机变量X的概率密度函数为/(X)，若积分t
7、x
8、/(x)也收敛，则称也为X的数学期望,则£>(；0=£(%2)-£2(；0为X的方差.3主要结论及证明定理1121切比雪夫不等式积分形式如果连续函数/(X)与g(x)在区间上成似序，则成立如下不等式相反，如果/W与
9、g(x)成反序，则不等号反向.证明引入辅助函数ho=(，-勿£/(砌(拗-(触£(?(触，求导得厂(0=^f(x)g(x)dx^t-/(oj:卜f(x)dx=£[.,(初•和.八，W-/W彻-洲.,U)]也=£[/W-/(’)][g(x)_g(’)]滄.由于/(x)与与g(x)在区间上成似序，故有[f(x)-f(t)][g(x)-g(t)]>0,于是F’(伦0,因此所)在上单调递增，又F⑻=0，/./^)>0,即(^-^)£f(x)g(x)dx-^/拗£g(x)松0,...Pf(xlxhg(x)dx<(/?-<7)f/(x)^(xXr.JaJaJa同理反序
10、成立.定理2W切比雪夫不等式有限形式若/=（/,，/2,…乂）和例=（%，％，"•，例J是两个实序列，且满Z'Z2U/,,，m}/2>•••>/n,m1>m2>••->mn,则成立如下不等式m：证明设I”!”".，/”，%，/&，…，m„为两个有相同次序的序列，有排序不等式得/,m,+l2m2H—lnmn=/,m,+l2m2HHlnmn,/^77,+l2m2+•••lnmn>lxm2++•••+ln)nA,lxmx+/2m2H—lnmn>lxm3+/2m4+•••+lnm2，I'm'+l2m2+•••/，">l}mH+l2m'+
11、•••+/,凡一i，将这n个式子相加得
