5.1切比雪夫不等式

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1、5.2.4切比雪夫不等式数学期望E(X)反映了随机变量X的平均值，而方差D(X)刻画了随机变量X的取值对数学期望E(X)的离散程度。在已知E(X)、D(X)的情况下，可以利用切比雪夫不等式近似估计随机变量的概率分布。定理设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对任意的正数，有--------切比雪夫(chebyshev)不等式．切比雪夫不等式证明:（X为连续型）设X的概率密度为f(x)，则(1)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件

2、x-μ

3、<ε的概率的一种估计方法。例如:(2)切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)的意义

4、。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-ε,E(X)+ε)之内。意义：切比雪夫不等式(3)可以证明方差性质例一台设备由10个独立工作的元件组成,每一元件在时间T发生故障的概率为0.05．设在时间T发生故障的元件数为X.试用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望的偏差（若不对称？）（a）小于2；(b)不小于2的概率．解（a）由题意知X~b(10,0.05)，且由切比雪夫不等式，得E(X)=0.5D(X)=0.475(b)例在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪

5、夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则例随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。解：设表示六颗骰子出现的点数总和。i，表示第i颗骰子出现的点数，i=1，2，…，61，2，…，6相互独立，显然