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1、学号成缋本科自学考试毕业论文题a:反例在数学学习中的应用姓名：系别：数学系专业：数学教育一班指导教师：2013年9月15日本文通过数学中的很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.反例思想是数学分析屮的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研宄与论证中都具有不可替代的独特作用.恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用.木文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例.系统的对数学分析中的反例进行总
2、结研究，共分为数列、函数、一元函数导数及其积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立.针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实.本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性.木文对理解数学分析的基木概念，掌握数学分析的基木理论和技巧很有好处.关键词：反例；函数课题的背景及目的数学是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅
3、可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而II是我们在数学学习屮必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.举出大量实例来说明反例法确
4、实是发现数学真理的一种有效手段.比如，数学家奥姆斯特德［1］指出：“数学由两大类一一证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标一一提出证明和构造反例.从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段.从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解.”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而II要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解.反例思想是数学分析屮的重耍思想，在概念、性质的理解，问题的研宄与论证中都具有不可替代的独特作用.课题研究方法数学中有许多重要的典型反例，这些反例是数学分
5、析理论不可缺少的重要组成部分.所以论文主要研宄方法就是对数学分析屮的一些重要问题寻找、总结反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法.针对数学中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握.我们在数学中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法.定义1.1设为数列，〃为定数，若对任何的正数£；，总存在正整数2V，使得当A
6、Z〉7V时有-Ci<£则称数列忪J收敛于定数〃称为数列⑷｝的极限.若数列kJ没有极限，则称kJ不收敛，或称kJ为发散数列[3].例1.1判断以下两个论断是否与极限的定义等价l2].①有无穷多个e〉0,对每一个匕存在A^)当时，有②对任意正数A无限多个人，使p,,事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价.论断①忽视了e的最木质属性“任意小正数”.例如数列仏,,b么=1+(-1)"尽管有无穷多个00(如e=3,4,5,…)，可以使p-^z
7、=
8、l+(-l)"-a
9、(这里tz可以是0或1)小于每一个=3，4，5，…)，但却不能使-a
10、
11、=
12、l-(-l)n比任意小的正数还要小.论断②对任意8〉0，里然有无限多个〃„，使-6f
13、<£*成立，但它忽视了对每一个8>0,都必须存在某个自然数TV,即数列数列伙｝的某一项从~以后的所有项都必须满足k-6/
14、<£,例如数列沁,,｝=｛1,丄，1,丄，1，丄，…，1,丄，…｝.234n对任意正数匕有无限多个人=丄(只要，7〉丄)，在0的S邻域(01,0+0内；但在｛人｝nn中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0-S，0+幻内的项.例1.2收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立.例如，数列与U，通项分别为'=^一，yn=
15、nsin(—)(w=l，2,…)则数列A7+12k,｝收敛，kJ发散，nsin(——)2«+1（H=l,2,…）故其积J；,｝发散.然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数
