电动力学高教第三(3)

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1、本章重点：1、矢势的引入和它满足的微分方程、边值关系、静磁场的能量。2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、边值关系、与静电势方程的比较。本章难点：利用矢势和磁标势解决具体问题第三章静磁场一、稳恒电流磁场的矢势1．稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。基本方程边值关系§3.1矢势及其微分方程稳恒电流磁场物理意义：2．矢势的引入及意义静电场（a）与的关系其中S为以回路L为边界的任一曲面（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关（c）物理意义３、矢势的

2、不唯一性沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量加辅助条件可减少矢势的任意性若取另一解使满足方程即只要就有对所加的辅助条件称为规范条件二．矢势满足的方程及方程的解（2）与静电场中形式相同1．满足的方程（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程（3）矢势为无源有旋场2．矢势的形式解已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。3．的解这正是毕奥--萨伐尔定律通过类比4．的边值关系12（a）（b）特殊情况：①若分界面为柱面，柱坐标系中当z

3、xy或对非铁磁介质适用适用于铁磁介质三．稳恒电流磁场的能量已知均匀介质中总能量为1．在稳恒场中有②不是能量密度。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。②若分界面为球面，当xzy③导出过程2.电流分布在外磁场中的相互作用能最后一项称为相互作用能，记为，可以证明：设为外磁场电流分布，为外磁场的矢势；为处于外磁场中的电流分布，它激发的场的矢势为。总能量：例：无限大导体平面上流有面密度为的均匀面电流，求空间中的矢势和磁感应强度解：取直角坐标系，设导体平面为zox平面，导体平面将空间分成两部分。电流沿z轴方向，因而矢

4、势只有z分量，且与x,z无关。因此满足的方程为通解为由于空间关于平面对称，有：§3.2磁标势原因：静电力作功与路径无关，一．引入磁标势的两个困难2．在电流为零区域也不是都能引入磁标势。1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。而静磁场即使电流为零的区域也可能不满足二．引入磁标势的条件即无自由电流分布的单连通域区域内可引入磁标势。讨论：1）在有电流存在时必须根据情况挖去一部分区域；2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。用公式表示显然只能在区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。不仅可用于均匀各

5、向同性非铁磁介质，而且也可讨论铁磁介质或非线性介质。即将代入1．无传导电流分布的单连通域磁场满足的方程三．磁标势满足的方程2．满足的泊松方程与静电场方程比较令引入磁标势代入得磁标势满足的方程则有磁场强度满足若将分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，介质磁化后出现假想磁荷分布，密度为或4．边值关系或或四．静电场与静磁场方程的比较静磁场静电场静电势与磁标势的差别：到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，将它们看作由一对磁荷构成，不能分开。静电场可在全空

6、间引入，无限制条件；静磁场要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。②静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子电流观点不能同时使用。③虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。例1：证明的磁性物质表面为等磁势面由边值关系：得：由于有得到即与表面垂直，表面为等磁势面例2：求磁化强度矢量为的均匀磁化铁球产生的磁场。时，有限，得时，，得解：取球坐标系，原点在球心，极轴沿方向。铁球内外均为无传

7、导电流的单连通区域，因而可引入磁标势，设球内外的磁标势分别为和，它们均满足拉普拉斯方程。处，有得：解出磁标势为球外为磁偶极子产生的势磁偶极矩为球内磁场和反向，线闭合，线不闭合。（P85图）例3：求电流线圈产生的磁标势设电流线圈载有电流，可看作线圈所围的一个曲面上许多载有电流的小线圈组合而成。其中面元为的小线圈的磁矩为解：产生的磁标势为为对场点所张的立体角。因此整个电流线圈产生的磁标势为