电动力学高教第三(4)

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1、第二章静电场本章重点：本章难点：静电势及其满足的微分方程及边值关系、分离变量法、镜象法分离变量法（柱坐标）静电场的标势、及其微分方程和边值关系，静电场的能量分离变量法、镜象法本章主要内容唯一性定理的内容及意义静电场的基本特点：边值关系：由静止电荷产生的场，不随时间变化基本方程：1．静电势的引入一、静电场的标势静电场标势[简称电势]②取负号是由于电场方向从高电势指向低电势满足迭加原理③①的选择不唯一，可相差一个常数，只要即可确定知道§2.1静电势及其微分方程2、电势差空间某点电势无物理意义，两点间电势差才有意义电

2、势差为电场力将单位正电荷从P移到Q点所作功负值①电场力作正功，电势下降电场力作负功，电势上升②两点电势差与作功的路径无关●等势面：电势处处相等的曲面与等势面垂直点电荷电场线与等势面+电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面参考点通常选无穷远为电势参考点（1）电荷分布在有限区域，P点电势为将单位正电荷从P移到∞电场力所做的功。（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。3、电荷分布在有限区几种情况的电势（1）点电荷（2）电荷组Q产生的电势产生的电势（3）无限大均匀线性介质中点电荷点电荷在

3、均匀介质中的空间电势分布（Q为自由电荷）（4）连续分布电荷二、静电势的微分方程和边值关系电势满足的方程适用于均匀介质泊松方程导出过程拉普拉斯方程适用于无自由电荷分布的均匀介质2．静电势的边值关系(1)两介质分界面0PQ由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。（2）导体表面上的边值关系三．静电场的能量能量密度若已知总能量为不是能量密度总能量仅讨论均匀介质导出过程：该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电

4、荷区，而且存在于整个场中。四、例题求均匀电场的电势解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势yzxPR电偶极子产生的电势P点电势：（无穷远为零点）解：电偶极子：两个相距为的同量异号点电荷构成的系统偶极矩zxy-QQP同理平面为等势面（Z=0的平面）求近似值：若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质，而用真空中的。这由决定。均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生

5、的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设为束缚电荷，3．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。满足aQP此题也可用高斯定理（积分形式）求解。==、泊松方程和边界条件假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性的设V内各分区电势为，它们满足泊松方程两类边界条件：①边界S上，为已知，若为导体=常数。②边界S上，为已知，给定（）

6、定总电荷Q。它相当于若是导体要给§2.2唯一性定理内边界条件（边值关系）注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。：V内两介质分界面上自由电荷为零二、唯一性定理1．均匀单一介质电场）唯一确定。分布已知，满足若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静区域内证明：假定泊松方程有两个解，有在边界上令由第一格林公式令则由于积分为零必然有常数（1）若给定的是第一类边界条件即常数为零。电场唯一确定且电势也是唯一确定的。虽不唯一，但电场（2）若给定的是第二类边界条件

7、常数，相差一个常数，是唯一确定的。介质分区均匀（不包含导体）已知，成立，给定区域边界上的值或。在分界面上，满足和V内（证明见书P.44）sv区域V内电场唯一确定均匀单一介质中有导体（证明见P.45）总电荷Q1、Q2为已知，则区域V已知，及导体上的或内电场唯一确定。当，内的电荷分布导体中Q2Q1SS1S2V三、唯一性定理的意义对于所得解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。

8、满足即为唯一解，因而唯一性定理具有十分重要的实用价值。唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。四、应用举例半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷Q，求壳内场强。Q解：点电荷Q放在球心处，壳接地因而腔内场唯一确定。不满足已知点电荷产生的电势为但它在边界上要使边界上任何一点电势为0，设它满足根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q