方阵的特征值与特征向量ppt课件

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1、1第5.1节矩阵的特征值　与特征向量线性代数2主要内容:一、方阵的特征值与特征向量二、特征向量的性质三、小结思考与练习3一.方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义定义1:注：设是阶方阵，若数和维非零列向量，使得成立，则称是方阵的一个特征值，为方阵的对应于特征值的一个特征向量。是方阵(2)特征向量是非零列向量(EigenvectorsandEigenvalues)4(3)如果是一个不可逆的方阵,则线性方程组有非零解,即故不可逆方阵必有零特征值.52.特征值与特征向量的求法或已知所以齐次线性方程组有非零解或定义2：数是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。67设阶方阵的个特征值为则称

2、为矩阵A的迹。（主对角元素之和）定理1：8另一方面,由多项式相等,系数相等,即(1)得证.9求A的特征值与特征向量的步骤:10解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例1：求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。11齐次线性方程组为当时，系数矩阵自由未知量:令得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量。12齐次线性方程组为当时，常数)是对应于的全部特征向量。得基础解系13证明:因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式唯一决定.例2:而14若的特征值是，是的对应于的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)若可逆，则的特征值是的特征值是且

3、仍然是矩阵分别对应于的特征向量。例3：1516练习题1:已知三阶矩阵A的三个特征值为1，2，3,则A的行列式等于____,A-1的三个特征值为_______,A2+2A+3E的三个特征值_______，

4、+2A+3E

5、=___________.练习题2:已知=2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵有一个特征值为____.17练习题3:P143判断下列命题是否正确．(1)如果向量构成的集合是方阵的特征值，则对应的特征(2)方阵(错)的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;(对)(3)由于方阵和有一样的特征值,故他们也有一样的特征向量.(错)(4)如果阶方阵的个特征值全为0,则一定是零矩阵.(错)1

6、8二、特征向量的性质结论:定理2:19定理3:定理4:结论:20三、小结思考与练习(2)求矩阵特征值与特征向量的步骤：(1)矩阵特征值与特征向量的概念(3)矩阵特征值与特征向量一些结论：21(4)特征向量的性质22思考题解答:23课后练习题:2：设设为矩阵的特征值，求的特征值；若可逆，求的特征值。求的特征值与特征向量.1: