(8)从椭圆定义到焦点半径

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1、~专题指导（8）（8）从椭圆定义到焦点半径一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式　　数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：

2、PF1

3、=a+；

4、PF2

5、=a-.【分析】可用距离公式先将

6、PF1

7、和

8、PF2

9、分别表示出来.然后利用椭圆的方程"消y"即可.【解答】由两点间距离公式，可知

10、PF1

11、=(1)　　　　　从椭圆方程解出　　　　　　　　

12、　　　　　　　　(2) 代（2）于（1）并化简，得

13、PF1

14、=(-a≤x≤a)同理有

15、PF2

16、=(-a≤x≤a)　　　　【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 　　　　r1=a+exr2=a-ex(e=)　　从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.　　二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径　　用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直

17、接导出公式来.　　椭圆的焦半径公式，是椭圆"坐标化"后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.　　【例2】P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=

18、PF1

19、和r2=

20、PF2

21、.　　【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.　　【解答】依题意，有方程组　　~~~　　　　　　　　　　　　　　②-③得　　　　　　　　　　　代①于④并整理得r1-r2=⑤ 　　　　　　　　　　　　　　　联立①，⑤得　　　【说明】椭圆的焦半径公式可

22、由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.三、焦半径公式与准线的关系　　　用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.　　　如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1： 　　　x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆　　　的第二定义，则有　　　　　　即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的"人为性".准线缺乏定义的"客观性".因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.【例3】P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点

23、.直线l为x=-，PD1⊥l交l于D1. 求证：.【解答】由椭圆的焦半径公式

24、PF1

25、=a+ex.对

26、PD1

27、用距离公式

28、PD1

29、=x-=x+.故有.【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0

30、过程显得很简明.　　【例4】设点P（x，y）适合方程.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.~~~【分析】这题目是为了完成"从方程到曲线"的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=

31、PF1

32、.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex① 　　　　　　同理还有r2=a-ex②①+②得r1+r2=2a　　　　即

33、PF1

34、+

35、PF2

36、=2a.　　　　即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a.　　【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径

37、公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.五、用椭圆焦半径公式推导椭圆方程焦半径公式既然能独立于椭圆方程而直接从椭圆定义导出，那么它也就有推导椭圆方程的价值.【例5】P（x，y）到两定点F1（-c，0），F2（c，0）距离和为2a的轨迹曲线上任意一点，且有

38、PF1

39、=a+，,试求轨迹曲线的方程.【分析】为求曲线的轨迹方程E（x，y）=0可考虑对

40、PF1

41、和

42、PF2

43、用距离公