《阶微分方程》ppt课件2

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1、第二节一阶微分方程一、可分离变量的方程二、齐次方程三、线性方程四、全微分方程一、可分离变量的方程的形式称为可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程的解法：如果一个一阶微分方程能写成.例1求解微分方程解分离变量两端积分2、典型例题的通解。即为所求的通解。解：略解：略的微分方程称为齐次方程.2.解法令从而化为可分离变量方程1.定义二、齐次方程例4求解微分方程的通解解原方程可化为此为齐次方程，因而令：分离变量，得两边积分得原方程的通解为一阶线性微分方程的标准形式:称为齐次线性方程.称为非齐次线性方程三、线性方程例如线性的;非线性的.这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）齐次

2、线性方程是可分离变量方程，1.齐次线性方程的解法分离变量后得2.非齐次线性方程的解法（常数变量法）将齐次线性方程通解中的常数换成函数(8)代入方程（6）得即.或两边求积分得.将上式代入(8)式得一阶非齐次线性方程的通解的公式(9)上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数变易为函数，而后再去确定方程的通解.这种解法顾名思义称为“常数变易法”.或(10)，从而得到非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程一个特解解例5先求与原方程对应的齐次线性方程的通解.即分离变量得,两边积分得,从而再由常数变易法可设原方程的解为代入原方程得化简得,两边积分得于是原方程的

3、通解为.,.3.贝努里()方程形如的方程称为贝努里方程.(13)贝努里方程虽然不是线性方程，但我们可把(13)改写为,从而有(14).于是，只要令，方程(14)就化为线性方程它的通解可由公式(10)给出，再利用变换就可得方程(13)的通解.例6求解方程.解：原方程可改写为(15)..它是一个贝努里方程，作变换则方程(15)变为根据公式(10)得因此原方程的通解为...四、全微分方程如果方程(16)的左边是某一个函数的的全微分，即,(17)则称方程(16)是全微分方程（又称恰当方程）.容易验证，方程(16)是全微分方程的充要条件为其通解为..根据(17)式，函数必须满足方程组(18

4、)因此，(19)再由(18)第二个等式得从而两边对积分便可求出，将其代入(19)就得方程(16)的通解..例7求解方程解:得故方程为全微分方程.由..从而于是,可取因此原方程的通解为.