函数列与函数项级数

《函数列与函数项级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性一．函数列及其一致收敛性若数列(2)收敛,则称函数列(１)在点设(1)是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在发散。若数列(1)在或总有例１证明它的收敛证:(3)它显然是发散的,所以函数列例2设证明它的收敛域为极限函数为=0。证：由于对任何实数都有故，对任意给定的，就有定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连

2、续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。一致收敛于f的几何意义:不一致收敛于f的几何意义:函数列在D上不一致收敛的定义：定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)(4)证:[必要性][充分性]一点都收敛，记其极限函数为(5)定理13.2证:[必要性]由上确界的定义有由此证得（6）式成立。[充分性]有由（7）式得（6）（7）例3证明证：于是，但由于因此，该函数列在上不一致收敛。二.函数项级数及其一致收敛性称为定义在Ｅ上的函数项级数，为函数项级数的部分和函数列。级数的和函数：即若收敛，则称为的收敛点。若发散，则称为的收发

3、散点。也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。当当定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：定义2å.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例4定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在[-a，a]（a<1）上讨论，由可知级数在[-a，a]上一致收敛。若在（-1，1）上讨论这个级数，则由（）（）在（-1，1）内不一致收敛。又对一切根据函数项级数一致收敛的柯西准则，一致收敛。三.函数项级数的一致收敛性判别法定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）证：例5证明函数项级数在上一致收敛。在证：由于对一切有

4、而正项级数是收敛的，所以函数项级数上也收敛。定理13.6（阿贝耳判别法）设在区间I上一致敛；是单调的；（2）对每一个（1）（3）则级数在区间Ｉ上一致收敛。证：由（1），使得当时，对任意正整数p及有又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章§3引理的推论）得到由此柯西准则定理得证。定理13.7（狄利克雷判别法）设（1）的部分和数列在I一致有界；（2）对每个是单调的；（3）在I上一致收敛于零。则级数在区间I上一致收敛。证：由（1），，对一切。因此当n，p为任意正整数时，对任何一个由（2）及阿贝尔引理，得到再由（3），对任给的，存在正整数N

5、，当n>N时，对一切有所以于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛。例6函数项级数在[0，1]上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例7若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛。证：因为在上有所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。