《微分方程建模》ppt课件

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1、基础部王静第4章微分方程建模艾滋病现在无疑是现代历史上最严重的瘟疫．从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命.据统计，2004年有490万人被艾滋病毒感染，同时有300多万艾滋患者死亡.在我国，2005年的疫情评估结果显示：艾滋病毒感染者和艾滋病人约65万，且疫情发展呈上升趋势，并由高危人群向一般人群扩散，存在进一步蔓延的危险.建立数学模型研究艾滋病的发展趋势，尽量不涉及太多的医学知识.4.1问题驱动：艾滋病的发展背景:人体的免疫系统中起关键作用的就是淋巴细胞，它分为T细胞和B细胞.T

2、细胞由骨髓产生，在胸腺内成熟，能直接攻击入侵者．T细胞又分CD4T和CD8T两种类型.CD4T细胞可以对微生物的入侵立即发出警报，并指挥CD8T细胞等做出反应，投入战斗．B细胞对入侵者产生抗体，抗体与入侵者进行肉搏并将其消灭．在AIDS感染初期，进入人体的HIV首先侵入CD4T细胞内，或侵入巨噬细胞等其他细胞，将病毒带到局部淋巴结，引起各种急性症状，于是CD8T细胞、抗体等做出反应，从而控制疾病的发展，使血液中的HIV持续在一个较稳定的水平，疾病进入潜伏期．接着HIV对巨噬细胞、CD4T细胞等的感染，免疫系统逐

3、步被破坏，被感染的CD4T细胞由裂解而大量产生HIV．当正常的CD4T细胞急剧减少、HIV迅速增加时，病情发作，随时出现的各种病原都可能引起感染，病人最后因各种机能衰竭而死亡．图4-1AIDS进程示意图4.2常微分方程基础4.2.1基本概念1常微分方程含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.未知函数是一元函数的微分方程，叫做常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.4.2.1基本概念微分方程中出现

4、的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶数.1常微分方程一般的，阶常微分方程具有形式这里，是的已知函数，而且一定含有；是未知函数，是自变量.4.2.1基本概念2线性和非线性微分方程若微分方程中关于未知变量及其导数都是线性的，那么该微分方程就称为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程.如形式为的方程就是阶线性微分方程.4.2.1基本概念3微分方程的解、通解和特解如果一个函数代入微分方程后,方程的两端恒等,则称此函数为该微分方程的一个解.如和都是一阶微分方程的解.4.2.1基本概念3微分方程的解、通解和特解如果一

5、个微分方程的解中含有任意常数,并且所含独立任意常数的个数等于该微分方程的阶数时,则这个解叫做该微分方程的通解.如果从一个微分方程的通解中根据已知条件将任意常数确定下来得到的解,则这个解叫做微分方程的特解.用来确定通解中任意常数而得到特解的已知条件叫做初始条件.求微分方程的解的过程，叫做解微分方程.二阶微分方程的通解为满足初始条件的特解为4.2.2一阶微分方程的求解方法1可分离变量的微分方程形式：分离变量法：（1）分离变量（2）两边积分（3）求积分（为任意常数）其中和分别是和的原函数.注意：补充令的解.解：分离变

6、量，两边积分，例1求微分方程的通解。所以，原方程的通解为解：分离变量，两边积分，例2求微分方程的通解。所以，(为任意常数)（其中，为非零常数）于是，易验证也是方程的解，故可等于0，所以，原方程的通解为（为任意常数）.4.2.2一阶微分方程的求解方法2齐次微分方程形式：求解齐次微分方程时，只要作变换，于是有从而原方程可化为是可分离变量的微分方程.按分离变量法，求出其通解，再将变量还原为，所得函数就是齐次方程的通解.4.2.2一阶微分方程的求解方法2齐次微分方程例3求微分方程的通解.解:原方程可化为它显然是齐次方程

7、.令，则，即两边积分得或用代换上式中的将其代入原方程得4.2.2一阶微分方程的求解方法3一阶线性微分方程形如(1)的微分方程叫做一阶线性微分方程,其中与都是的函数.如果时,则方程(8—5)变形为(2)称为一阶线性齐次微分方程.而时,方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程.一阶线性齐次微分方程通解可由分离变量法求得为(3)一阶线性非齐次微分方程通解可由常数变易法求得.具体方法为：把齐次方程(2)的通解中的换成的函数,是待定函数,即令(4)于是(5)将(4)及(5)代入非齐次方程（1)中可得即将得到的代入（4），即得

8、一阶线性非齐次微分方程（1）的通解为(6)例4求微分方程的通解.解:原方程是一阶线性非齐次微分方程，用通解公式（6）可得4.3用MATLAB解微分方程4.3.1微分方程（组）的解析解命令：dsolve(‘eqn1’,‘eqn2’,…，‘var’)功能：求微分方程或微分方程组的通解.命令：dsolve(‘eqn1’,‘eqn2’,…，‘cond1’,‘cond2’,…,‘var’)功能：