《平面波函数》ppt课件

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1、第五章平面波函数5.1平板介质波导5.1.1标量波函数标量波函数是矢量波函数的基础，矢量波动方程的直角分量满足标量波动方程。在介绍平板介质波导之前，先简单介绍标量波函数。在直角坐标系中，波动方程为：（5.1.1）用分离变量法解上述方程。令代入式（5.1.1）得到：（5.1.2）上式中的各项相互独立，分解为：（5.1.3）其中为分离常数，它们满足：（5.1.4）式（5.1.3）中的三个公式形式相同，称为调和方程式，它们的解称为调和函数，用,,表示，它们是线性的。（5.15）上式为基本波函数。基本波函数加权求和或求积分后，仍是波动方程的解。对于有界问题，等取离散值，有（5.1.6）对于有界问题

2、，等取连续值，有（5.1.7）我们详细地讨论一下平面波函数的波动特性：对于：当为正实数时，代表沿＋x方向的无衰减行波；当为实部大于零的复数时，代表沿＋x方向的衰减行波。对于：当为正实数时，代表沿＋x方向的无衰减行波；当为实部大于零的复数时，代表沿＋x方向的衰减行波。当为纯虚数时，上述两波变为凋落场（急速衰减）。对于：当为实数时代表纯驻波；当为复数时代表局部驻波。分别称为沿x,y,z方向的波数,用一个矢量表示为(5.1.8)于是基本波函数（5.1.9）可写成（5.1.10）电磁场矢量满足矢量波动方程，其直角分量满足标量波动方程，可以由矢量平面波对波数的迭加得到。这一思路不仅适用于平面波函数，

3、也适用于其它坐标系中的波函数；不仅适用于各向同性媒质，而且适用于各向异性媒质。5.1.2平板介质波导对于各向同性介质的平板介质波导，如下图所示：图5.1.1平板介质波导波导结构以z轴对称,其中表示介质的厚度,.上半平面在x=/2处,下半平面在x=-/2处。和分别为自由空间及介质的介电常数和磁导率。若把问题放在二维里考虑，且设在y方向波函数无变化，即：＝0。波沿z方向传播，用表示波沿z方向的变化。对于TM波，我们取Ａ＝ｕｘφｍ，得到场的分量表达式如下：（5.1011）（具体可参考横磁波与横电波的推导公式）其中：。特别地，＝0，我们有，（5.1.12）这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与

4、之类似。另外由于平板介质波导关于x轴对称，那么得到的TM模的解是关于x轴的奇函数或偶函数。令代表x的奇函数，代表x的偶函数，则在介质内的TM模的解形式为（5.1.13）在空气中的TM模的解形式为（5.1.14）这里A、B、u、v为常数，这时波在介质中是无衰减传播的。u和v不为实数时的情况将在第三节讲述。选择和，使公式更简洁些。从上面的公式可以得到分离参数方程为（5.1.15）把上面的分离参数方程代入公式（5.1.12）就得到方程根据和在处需满足的条件，也就是电场和磁场在边界处连续，即在边界处电场和磁场分别相等。由此得到下面的方程：把上面的两个方程左右两边分别相除得到：（5.1.16）这个公

5、式和前面的色散关系式（5.1.15）是决定TM模的截止频率和的特征方程。同样对于x的偶函数的TM模，我们选择（5.1.17）它的分量参数公式依然是公式（5.1.15）。而它的场量也由公式（5.1.12）给出。根据和在处的连续性条件，我们得到：（5.1.18）该公式就是决定偶TM模的截止频率和的特征方程。平板介质波导的截止频率和截止波长与金属波导有一些不同，当频率高于截止频率时，介质波导传输波是无衰减的，这时是实数。低于截止频率时，就产生衰减，这时=。波在传输时有衰减，就必须计算能量的减少。由于介质波导是无损耗传输波的，那么衰减就只能是波在传输过程中向周围辐射引起的。也就是说介质波导可以用作

6、天线（要求传输波的频率低于截止频率）。无衰减模的必须界于介质的相位常数和空气的常数之间，即：<<（5.1.23）本节讨论的特征方程解是v为实数时的情况。根据前面的讨论，当，无衰减介质波导传输波的频率趋于截止频率，这时v0。我们设v＝0及，解特征方程可以得到：（5.1.24）以上结果对于TM和TE模都适用。它们需满足的条件是:（5.1.25）同时，我们还可以得到截止波长：（5.1.26）与截止频率：（5.1.27）根据不同的n值，可以得到不同的和模。我们可以采用一种简单的作图方法，来实现在高于截止频率的任何频率点，求与之对应的。比如，对于TE模，由它的色散方程（5.1.15）可以得到（5.1

7、.28）利用这个关系式，重新改写TE模的特征方程，得到：（5.1.29）按照上述方程作出下图：图5.1.2平板介质波导的图形解由两类曲线的交点利用公式：（5.1.30）就可以确定的值。从图中可以看出，波数的值越大，圆的半径也就越大，那么两类曲线的交点也就越多，得到的结论就是导行波的模式也就越多，也就是高于截止频率的模越多。5.2导体涂层平板波导在导体表面覆盖一层介质，我们称之为导体涂层平板波导。如下图所示：图5.2.1表