《多复变简介》ppt课件

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1、多复变简介周向宇中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所1、何为多复变？已故著名数学家钟家庆先生在为《中国大百科全书》数学卷撰写多复变函数论条目时，称多复变函数论是“数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科”。从范畴(category)的语言来说多复分析（多复变）：是研究复解析范畴的学问。1、何为多复变？（续）这里，范畴的对象(objects)是复流形（乃至复空间），态射(morphisms)是复流形（乃至复空间）间的复解析映照。（Remmert综述：从Riemann面到复空间）衍生物：CR-结构，

2、亚纯映照，多次调和函数，currents（positiveclosed）等等一些著名数学家认为，现代数学的特点之一是高维，而多复变正是反映这一特点的方向之一。1、何为多复变？（续）顾名思义，“变”即“变量”，“复”即“复数”，“复变”指“变量在复数域取值、变化”以别于“实变”，“多”指“多个”。总之，多复变是研究多个复变量的学问，当然是研究高维的。2．多复分析的产生背景源自于该学科与单复分析若干本质差异的发现，如Poincare、Hartogs的发现。复分析19世纪：多复分析只是单复分析的简单推广20世纪初：2

3、．多复分析的产生背景（续）（1）Poincare发现：Riemann映照定理：ℂ中单连通域(非ℂ)≈△n≥2单位球多圆盘不双全纯等价（notbiholomorphicallyequivalent）2．多复分析的产生背景（续）（2）Hartogs发现ℂ,找到全纯函数不能定义在更大的域上例：,自然定义（或存在）域:单位圆盘一般域:Rudin’sbook“RealandComplexAnalysis”.穿孔单位球上的任一全纯函数均可解析延拓至学位球。说明：单、多复变有区别，从而多复变作为一个独立研究方向获得发展n!2

4、．多复分析的产生背景（续）Def:全纯域（domainofholomorphy）：ℂ不发生Hartogs现象即一定一个全纯函数,使得是的自然定义（或存在）域（的边界称为自然边界）。单复变：每一开集都是全纯域多复变：并非每一开集都如此，例如:不是全纯域;全纯函数的零点不孤立。3．多复分析的基本内容：概念，问题，方法和结论。ℂ，下述概念等价：1、复可微（complexdiff）：存在2、全纯（holomorphicfunction）：Cauchy-Riemanm方程：3、复解析（complexanalytic）：展

5、开成收敛幂级数3．多复分析的基本内容（续）。复可微复解析比较但实可微不一定实解析ℂ，1、复可微2、全纯3、复解析3．多复分析的基本内容（续）。开映照定理，极大模原理，identity原理Schwatz-Pick引理：单位园盘上Poincaré度量经全纯自映照拉回后不超过原Poincaré度量3．多复分析的基本内容（续）principalprobleminthefunctiontheoryinseveralcomplexvariablesistostudywhichdomainsaredomainsofholom

6、orphy,andtodeterminewhichobjectswecanconstructinthedomainsofholomorphy.Existence,constructionandclassificationofanalyticstructuresAnalyticcontinuation3．多复分析的基本内容（续）1、H．Cartan,Thullen全纯域全纯凸：（1）D中离散点列（2）相对紧集的全纯包仍相对紧全纯包多复变中很难构造全纯函数。3．多复分析的基本内容（续）2、Levi问题：概念：多次调

7、和函数（40年代Lelong，Oka引入）实函数：ℝ限制在任一复直线上是次调和函数若：对函数，complexHessian半正定。3．多复分析的基本内容（续）3、拟凸域（pseudo–convexdomain）上多次调和函数，在边界趋于无穷大。，Levi问题：pseudoconvexholoconvex，Oka,40年代，Oka,Norguet,Bremermann50年代初（独立）3．多复分析的基本内容（续）Levi问题就是把全纯域的刻画跳出了构造复（解析）函数的范围，而用构造实函数（多次调和函数）来刻画。C

8、ousinI、II问题（单复变Weierstrass,Mittag-Leffler类似问题的推广）与代数、几何、分析紧密相关的传统重要方法如层及其上同调论(Leray,Oka,H.Cartan,J.P.Serre,H.Grauert,R.Remmert,…)，这里，关键角色：凝聚解析层，例子：结构层，解析集的理想层，normalizationofcoherentanalyticshea