数列通项公式的应用论

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1、绪论数列是中学数学的一项重要内容，在中学数学体系中相对独立，但有一定的综合性和灵活性.高中数学中的数列知识主要涉及等差、等比数列的通项公式以及数列求和等内容，能力要求较高.数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一,它既可考查转化与化归的数学思想,又能反映中学生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,因此经常渗透在数学竞赛和高考中.同时也是初等数学与高等数学的一个重要衔接点。一扇门，打开它的关键就是门上的锁和钥匙，而数列问题就像紧闭的门，数列的通项公式与它的推导思路就是开门的关键。数列可以看作是特殊的函数，特殊在可以看作定义域为正整数集的函数当自变量依次取

2、值时对应的一系列的函数值，而数列的通项公式即这个函数的关系式。所以，推导数列的通项公式关键是找出与的关系。在本文中讨论的方法也是函数中常用的技巧.在各类研究数列通项公式的资料中，推导数列通项公式的常用方法一般有：公式法，待定系数法，不动点法，累加法，累乘法，归纳猜想法，构造等差或等比数列法等.本文从实际出发，首先介绍在数列知识体系中的一些相关概念及公式，然后把上述方法比较系统的归纳为四大类：公式法、归纳猜想法、迭代法、构造新数列法.解题思路由简单到复杂，难度一步步上升.不仅如此，内容安排上把方法和应用相结合，让读者更好的理解和掌握。在应用举例中，有些一种类型的题可

3、以用不同的方法解决，这种形式有利于开发中学生的发散思维能力，让学生在解决数列问题时从多方面综合考虑，以找出最简便的解法。怎样找准方法快速有效地推导呢？这就是本文所讨论的问题。1数列的相关概念.1.1数列数列：按某种规定排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第n位的数称为这个数列的第n项，也叫数列的通项.数列的通项公式：将数列{}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。通项可以看作是项数n的函数.当然，不是所有的数列都能写出它的通项公式，如：一个学校的学生的考试

4、成绩由高到矮组成的数列，就很难写出其通项公式.1.2基本数列的通项公式高中学习的数列有两种最基本的数列：等差数列与等比数列等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.如果等差数列的首项为，公差为d，那么这个数列可以写成的形式，所以等差数列的通项公式为等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,通常用q来表示。如果等比数列的首项为，公比为q，那么这个数列可以写成的形式，所以，等比

5、数列的通项公式是递推数列：根据等差数列的概念，形成等差数列的条件可以看作任一项与前一项的差为常数，即，像这样表示若干个相邻项之间的关系式叫做数列的递推式.一个数列的第n项与前面的项的关系称为阶递推关系，由阶关系及给定的前项的值所确定的数列叫做阶递推数列.在高中数学中，很多关于数列的题的题干都是以递推式的形式给出，如、、等.这样就加大了推导数列通项公式的难度。2数列通项公式的几种推导方法2.1公式法类型一若题型中已知数列{}为等差或等比数列，则可直接利用公式求.类型二若已知数列的前项和与n的关系式,则利用公式求出数列的通项.这两类型是数列问题中最直接，最简单的解法。

6、2.2归纳猜想法在数列的有关题型中，有些明确给出了一个数列的前几项，如1，8,27,64,125，…要求求出这个数列的通项。这类题一般以选择题或填空题的形式出现。解决此类型的题，快速准确是关键，所以，用猜想归纳的思想能有效的解决问题。首先，运用观察法，从数列的前几项中找出规律性的结论，归纳猜想得出或其相关项，然后把前几项代入结论中检验其是否正确。从上述的数列中可以观察出，该数列为典型的立方数列，规律为：，，，，…，所以我们可以猜想出其通项公式为.当然，选择题和填空题并不要求写出其解答过程，归纳猜想出来的通项公式只是一个合理猜想，如若遇到解答题，我们猜想出来的公式就

7、还需要用数学归纳法的思想去检验.2.3迭代法所谓迭代法，就是层层代入，用旧的变量递推新变量的过程，用迭代法解决数列问题关键是寻找各等式之间的联系，从而求出数列的通项公式。最常见的方法是累加，累乘法.2.3.1累加法累加法，一般适用于递推数列的类型，遇到此类型的题，一般题干中会告诉的值，解题思路为：首先把等式化为，再把当n=1,2,3,4…分别代入上述等式中得…第一式与第二式相加左边消去了,再与第三式相加消去了,依次累加后得，所以，变式得注：的结果必然是关于n关系式.在求和过程中可能会涉及到等差、等比数列的求和方法。2.3.2累乘法累乘法的思想与累加法本质上是一样的

8、，在数列中