2007年全国高中数学联合竞赛一试试题与详解

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1、巨人教育做感动中国人的教育巨人高考网http://gk.juren.com2007年全国高中数学联合竞赛一试试题与详解一、选择题（每小题6分，共36分）1.如图，在正四棱锥中，，则二面角的平面角的余弦值为（）．A．B．C．D．【解答】B．如图，在侧面内，作，垂足为．连接、，则为二面角的平面角．不妨设，则，斜高为，故，由此得．在中，由余弦定理得．2.设实数使得不等式对任意实数恒成立，则满足条件的所组成的集合是（）．A．B．C．D．【解答】A．令，则有，排除B、D．由对称性排除C，从而只有A正确．一般地，对，令，则原不等式为，由

2、此易知原不等式等价于，对任意的成立．由于，所以，从而上述不等式等价于．巨人教育做感动中国人的教育巨人高考网http://gk.juren.com1.将号码分别为、、…、的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为．则使不等式成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．【解答】D．甲、乙二人每人摸出一个小球都有种不同的结果，故基本事件总数为个．由不等式得，于是，当、、、、时，每种情形可取、、…、中每一个值，使不等式成立，则共有种；当时，可取、、

3、…、中每一个值，有种；当时，可取、、、、中每一个值，有种；当时，可取、、中每一个值，有种；当时，只能取，有种．于是，所求事件的概率为．2.设函数．若实数、、使得对任意实数恒成立，则的值等于（）．A．B．C．D．【解答】C．令，则对任意的，都有，于是取，，则对任意的，，由此得．一般地，由题设可得，，其中且，于是可化为，即，所以．由已知条件，上式对任意恒成立，故必有，若，则由⑴知，显然不满足⑶式，故．所以，由⑵知，故或．当时，，则⑴、⑶两式矛盾．故，．由⑴、⑶知，所以．3.设圆和圆是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则圆的圆心轨

4、迹不可能是（）．巨人教育做感动中国人的教育巨人高考网http://gk.juren.comA．B．C．D．【解答】A．设圆和圆的半径分别是、，，则一般地，圆的圆心轨迹是焦点为、，且离心率分别是和的圆锥曲线（当时，的中垂线是轨迹的一部份，当时，轨迹是两个同心圆）．当且时，圆的圆心轨迹如选项；当时，圆的圆心轨迹如选项C；当且时，圆的圆心轨迹如选项D．由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆的圆心轨迹不可能是选项A．1.已知与是集合，，，…，的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集．若时总有，则集合的元素个数最多为（）．

5、A．B．C．D．【解答】B．先证，只须证，为此只须证若是，，…，的任一个元子集，则必存在，使得．证明如下：将，，…，分成如下个集合：，，，，，，…，，共个；，，，，，，，共个；，，，…，共个；，，，共个．由于是，，…，的元子集，从而由抽屉原理可知上述个集合中至少有一个元集合中的数均属于，即存在，使得．如取=，，，…，，，，，，，，，…，，，，，，，则、满足题设且．一、填空题（每小题9分，共54分）7.在平面直角坐标系内，有四个定点，，，及一个动点，则的最小值为__________．【解答】．如图，设与交于点，则，．因此，当动

6、点与点重合时，取到最小值．巨人教育做感动中国人的教育巨人高考网http://gk.juren.com7.在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于___________．【解答】．∵，∴，即．∵，，，∴，即．设与的夹角为，则有，即，所以．8.已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___________．【解答】．如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上．在面上，交线

7、为弧且在过球心的大圆上，因为，，则．同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条．在面上，交线为弧且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，，所以弧的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为．9.已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数．若，，且是正整数，则等于__________．【解答】．巨人教育做感动中国人的教育巨人高考网http://gk.juren.com因为，故由已知条件知道：为，其中为正整数．令，则．由于是小于的正有理数，所以，即且是某个有理数的平方，由此可知．7.已

8、知函数，则的最小值为__________．【解答】．实际上，设，则，在上是增函数，在上是减函数，且的图像关于直线对称，则对任意，存在，使．于是，而在上是减函数，所以，即在上的最小值是．8.将个和个共个字母填在如图所示的个小方格内，每个小方格内至多填个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不