全国高中数学联合竞赛二试试题与详解

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1、2008年全国高中数学联合竞赛二试试题与详解一、如图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令．（Ⅰ）求证：当达到最小值时，四点共圆；（Ⅱ）设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值．【解答】解法一（Ⅰ）如图，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有．因此．因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时，．又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号．因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值．故当达最小值时，四点共圆．（Ⅱ）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得，解得或（舍去），故，．由已知=，有，即，整理

2、得，故，可得，　　从而，，为等腰直角三角形．因，则．又也是等腰直角三角形，故，，．故．解法二（Ⅰ）如图，连接交的外接圆于点（因为在外，故在上）．过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，则，又因，，得，同理有，，所以∽．设，，，则对平面上任意点，有，从而．由点的任意性，知点是使达最小值的点．由点在上，故四点共圆．（Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值，记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得，解得或（舍去），故，．由已知=，有，即，整理得，故，可得，所以，为等腰直角三角形，，，因为，点在上，，所以为矩形，，故，所以．解法三（

3、Ⅰ）引进复平面，仍用等代表所对应的复数．由三角形不等式，对于复数，有，当且仅当与（复向量）同向时取等号．有，所以……①，从而．……②①式取等号的条件是复数与同向，故存在实数，使得，，所以，向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，从而四点共圆．②式取等号的条件显然为共线且在上．故当达最小值时点在之外接圆上，四点共圆．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．一、（本题满分50分）设是周期函数，和1是的周期且．证明：（Ⅰ）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（Ⅱ）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，且每个都是的周期．【解答】（Ⅰ）若是有理数，则存

4、在正整数使得且，从而存在整数，使得．于是是的周期．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又因，从而．设是的素因子，则，，从而是的周期．　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ⅱ）若是无理数，令，则，且是无理数，令，……，由数学归纳法易知均为无理数且．又，故，即．因此是递减数列．最后证：每个是的周期．事实上，因1和是的周期，故亦是的周期．假设是的周期，则也是的周期．由数学归纳法，已证得均是的周期．二、（本题满分50分）设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（ⅰ），；（ⅱ）存在；（ⅲ），．【解答】必要性：假设存在满足（ⅰ），（ⅱ）

5、，（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为，，其中．将上式从第1项加到第项，并注意到得．由（ⅱ）可设，将上式取极限得，因此．充分性：假设．定义多项式函数如下：，，则在上是递增函数，且，．因此方程在[0，1]内有唯一的根，且，即．下取数列为，，则明显地满足题设条件（ⅰ），且．因，故，因此，即的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证满足（ⅲ），因，即，从而．综上，存在数列满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．请忽略以下内容：三个法五幅文人画有5个特和屈辱感他前往瑞典发送的发送到法国俄国个儿而后七日后教屠夫汉文条件虽然公司的营业日的分公司问题与入口化工集团具体如何退

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