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1、2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试(3月20日上午8:30-9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则（）2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）种种种种3(A
2、).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时，（）4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（）5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则()6.设实数满足则的最大值为()二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B）】已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐
3、标为.1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则.2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则.3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.3(B).若质数、满足：则的最大值为.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为.第二试(3月20日上午9:50—11:20)一、（本题满分20分
4、）已知为正整数，求能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分）(A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:.(B).已知：求的值.三、（本题满分25分）(A).已知正实数满足：,且.(1)求的值.(2)证明:.(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点求的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试(3月20日上午8:30-9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一
5、个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则（）【答案】.【解析】即又故选A.2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）种种种种【答案】C.【解析】设购买三种图书的数量分别为则，即，解得依题意得，为自然数（非负整数），故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应.即不同的
6、购书方案共有11种，故选C.3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）【答案】B.【解析】（其中为非负整数），由得，，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为故选B.3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时，（）【答案】B.【解析】依题意知故且，，于是又为整数，故，故选B.4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（）【解析】设则于在中，即解得，即（第4题答案图）为的中位线，是的直径
7、，故选A.5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则()（第5题答案图）【答案】D.【解析】过点作于点则～设则在中，则显然，化简整理得解得（不符合题意，舍去），故在中，,故选D.6.设实数满足则的最大值为()【答案】C.【解析】当且仅当时，取等号，故，故选C.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B）】已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为.【答案】.【解析】如图，过点作于点.在中，在中，（第1题答案图）,设，依题意知故，于是解得，故点的
8、坐标为.1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则.【答案】.【解析】（第1题答案图1）（第1题答案图2）依题意得,故.(1
