活用未知数巧解几何题.doc

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1、活用未知数巧解几何题东莞市石排中学何超【摘要】在数学几何学习中，遇到一些特别的几何问题，如果用常规的几何方法求解或证明总是不尽人意，相当复杂的；而如果我们能够适时的引入未知数，根据题意列方程来解决的话往往会峰回路转，水到渠成。本文作者将从几个方面探讨在问题中通过引入未知数来巧解几何问题。【关键字】未知数；方程思想；几何；图形性质；等量关系在初中阶段，除了几个特定的问题常用设未知数列方程的方法以外，其实还有很多题目类型可以通过引入未知数，利用方程思想来解决。特别是几何问题，学生由于受到定式思维的影响，很难意识到几何与方程之

2、间的关系，从而更加难以从方程的角度切入解决几何问题。因此，本文试举例探讨几类几何题利用未知数，根据几何性质建立等量关系列方程的解题思路和方法。1在等腰三角形中引入未知数例1（2009年邵阳市中考题）如图1-1，在梯形中，,,将延长至点，使.(1)求的度数；(2)求证：为等腰三角形.图1-1分析：从已知条件可以得到两个等腰三角形和一个等腰梯形，根据等边对等角的性质，我们不难得到多个角度之间的数量关系，很容易想到从某一个角出发，依次得到各个角的度数，来得到题目所求角的度数。但是，这个题目最大的困扰就是没有给出任何一个角的度数

3、，也就是说我们没有一个出发点，那么这么多的数量关系也无法利用。因此，我们可以引入未知数，设，以这个角为切入点根据数量关系依次得出所需角的表达式，再根据他们之间的等量关系列方程求解，即巧妙地突破了这个题目的难点。解：(1)设∵∴∴又∵∴∵∴∴∵∴即解得∴(2)略总结：本题利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，将线段间的相等关系转化为角度之间的相等关系，然后选取题目所求角设未知数，其他各角均可用含的代数式表示出来，利用等腰梯形的性质寻求等量关系列方程，求得题目所求。通过引入未知数，经过代换，列方程解决问题的方法是突破三角形

4、问题最常见的技巧。2在勾股定理中引入未知数例2（人教版八年级数学教材第71页，综合运用第10题）如图2-1，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到水池边的水面上，水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？图2-1图2-2分析：如图2-1显然可知，当芦苇被拉至水池一边时，则刚好与池壁、池底围成一个直角三角形，为了方便解题，我们把这个直角三角形截出来，如图2-2。此时，AC的长即为水的深度，AB的长即为芦苇的长度。不难想到，我们需求的边长

5、即为直角三角形的边长，可用勾股定理解决。但是有一个困惑，勾股定理可以计算一个未知量的大小，但是在直角三角形中两条边都未知的情况下如何来解决呢？这是我们可以考虑引入未知数，利用一个未知数来表示两个未知量，再利用勾股定理列方程即可突破本题的难点。解：不妨设尺，即水的深度为尺；由题意知，芦苇的高度比水的深度多出一尺，即尺有勾股定理得：即解得∴尺，尺答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺。总结：通常勾股定理的三个量中已知两个量可求第三个量，若仅知一个量而两个量未知则不可直接求出，因此我们可以考虑引入一个未知数，通过两边关系用的

6、代数式将未知的两条边表示出来，利用勾股定理列方程从而求所得。这个策略方法可以应用出勾股定理的多个问题中，总之条件不够，未知数来凑。3在三角函数中引入未知数CODAB图3-1例3(2012年珠海市中考题)如图3-1，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A、B(不计大小)，树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°。求C处到树干DO的距离CO.(结果精确到1米，参考数据：，)分析：此类题型是非常典型的解直角三角形的应用题，此题中唯一的已

7、知边是AB=2，而由于知识能力的原因，我的的初中生解决三角函数问题只能在直角三角形中解决，而已知边AB却不是直角三角形的边，换言之，我们真正需要用到的直角三角形中没有已知边，那么很明显，此题我们去烧条件，很难直接切入。因此，我们必须自己创设一个切入点，不妨引入未知数，设所求米，利用三角函数分别表示出AO和BO的长，在利用等量关系列方程求解，此题便水到渠成。解：不妨设米在中，∵∴米在中，∵∴,即，解得米而∴解得，即米总结：在解直角三角形时，我们通常会遇到由于知识水平不够而造成条件不可直接用，以致缺乏切入点，此时我们往往可以

8、通过引入未知数来求寻求切入点，通过题意将各个所需量表达出来列方程求解即可。这种方法也是解直角三角形最为常见的技巧之一。4内切圆问题中引入未知数例4(人教版九年级数学上册第97页例2)如图4-1，的内切圆⊙与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.