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时间:2018-11-22
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1、WORD格式..可编辑信号空间:将信号看做空间里的向量内积:(jiang2)内积为0—正交范数:(jiang3)http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA%A4http://zlgc.usx.edu.cn/jsjy/kc/xhyjs/chap6/chap6_1/chap6_1_1.htm第一讲信号的正交分解 把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。一方面,信号的分解使我们能了解它的性质与特征,有助于我们从中提取有用的信息,这一点,在信号的傅里叶变换中就已经体现出
2、来了。另一方面,把信号分解之后,可以按照我们的意愿对它进行改造,对于信号压缩、分析等都有重要的意义。 信号分解的方法有很多。例如,对一离散信号,我们可把它分解成一组函数的组合,即,式中,。但这种分解无实用意义,因为的权重即是信号自己。另一种分解的方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量,我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”,也就是专业知识整理分享WORD格式..可编辑按照这种分解方法,各正交向量的权仍是信号自己的各个分量,也无太大意义,但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。 一般,我们可把信号看成N维空间中的的
3、一个元素,可以是连续信号,也可以是离散信号。N可以是有限值也可以是无穷大。设是由一组向量所张成,即这一组向量可能是线性相关的,也可能是线性独立的。如果它们线性独立,我们则称它们为空间中的一组“基”。各自可能是离散的,也可能是连续的,这视而定。这样,我们可将按这样一组向量作分解,即 (6-1-1)式中是分解系数,它们是一组离散值。因此,上式又称为信号的离散表示(DiscreteRepresentation)。 如果是一组两两互相正交的向量,则(6-1-1)式称为的正交展开(或正交分解)。分解系数是在各个基向量上的投影。若
4、N=3,其含意如图6-1-1所示。专业知识整理分享WORD格式..可编辑图6-1-1信号的正交分解为求分解系数,我们设想在空间中另有一组向量:,这一组向量和满足:(6-1-2)这样,用和(6-1-1)式两边做内积,我们有,即: (6-1-3a)或 (6-1-3b)(6-1-3a)式对应连续时间信号,(6-1-3b)式对应离散时间信号。 (6-1-3)式称为信号的变换,其结果是求出一组系数;(6-1-1)式称为信号的“综合”,或反变换。称为的“对偶基”,或”倒数(Reciprocal)基”。(6-1-2专业知识整理
5、分享WORD格式..可编辑)式的关系称为“双正交(biorthogonality)”关系(或双正交条件)。在此须特别指出的是,双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性。但每一组向量之间并不一定具有正交关系,如图6-1-2所示,在二维空间中,并不是正交的,也不是正交的,但是,,即两组基向量满足双正交关系。图6-1-2两组二维向量的双正交关系如果一组基向量的对偶向量即是其自身,也即,……,,那么这一组基向量构成了N维空间中的正交基。 若空间中的任一元素都可由一组向量作(6-1-1)式的分解,那么我们称这一组向量是“完备
6、(Complete)”的;如果是完备的,且是线性相关的,那么,由(6-1-1))式表示必然会存在信息的冗余,并且其对偶向量将不会是唯一的。这时,我们称构成空间的一个“标架(Frame)”。有关标架的概念可以进一步参考有关书籍。 若是完备的,且是线性无关的,则是中的一组基向量,这时,存在且唯一,即存在(6-1-2)式的双正交关系。前已述及,若是完备的,且,则是中的正交基,其对偶向量就是自身。 (6-1-1)式又可写为(6-1-4)专业知识整理分享WORD格式..可编辑这样,可以看作在基向量上的投影。另外,此式又可写成(6
7、-1-5) 即基向量和其对偶向量是可以互相交换的,一个用作“分解”,一个用于“综合”,反之亦然。 给定一组基向量,要实现对信号的分解,第一步是要求出的对偶基向量。由于和是都是空间中的基向量,所以可表示为的线性组合,即,用对两边作内积,有。由(6-1-2)式的关系,该式应等于。令,则,有。 显然,若为一正交基,则为单位阵,从而也为单位阵,对应则有。 现在,我们对(6-1-1)以及(6-1-4)式的信号分解给以简单的物理解释:和对偶基向量的内积,即,反映了信号和之间的相似性。和越接近,则越大。因此,(6-1-5
8、)式的运算可以想象为用一把尺子去“度量”信号,这把“尺子”由所组成,各个分量专业知识整理分享WORD格式..可编辑可以看作是尺子上的刻度,所以是和相比较所产生的“度量”,即权重。显然,刻度越细,“度量”效果越好。所以,对信号分解时,基函数的选择非常
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