基尼系数的计算

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1、1、直接计算法G=SA/SA+B式（1）△＝nn∑∑∣j=1i=1Yj－Yi∣/n2,0≤△≤2u式（2）式中，△是基尼平均差，∣Yj－Yi∣是任何一对收入样本差的绝对值，n是样本容量，u是收入均值。定义G=△/2u,0≤G≤1式（3）可以证明：G=△/2u＝2SA，而由式（1）G=SA/SA+B，SA+B=1/2，G=2SA,因此，式（2）中定义的G即为基尼系数，综合式（2）、（3），基尼系数的计算方法为：G=12n2unn∑∑∣j=1i=1Yj－Yi∣式（4）证明：G=△/2u＝2SA第一步，分解nn∑∑∣j=1i=1Yj－Yi∣设将收入按从低到高排列Y

2、1、Y2、……Yn，则上式可以分解为矩阵A：Y1Y2……Yn－1YnY1Y2……Yn－1Yn0Y2－Y1……Yn－1－Y1Yn－Y1Y2－Y10……Yn－1－Y2Yn－Y2…………………………Yn－1－Y1Yn－1－Y2……0Yn－Yn－1Yn－Y1Yn－Y2……0将矩阵中各项加总得到：2〔（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－2）Y2－……－Yn－1〕＝2〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕第二步，计算12n2u取样本均值u=Y1＋Y2＋……Ynn=n∑Yin12n2

3、u＝12nn∑Yi综上，第一步、第二步，得到G＝1nn∑Yi〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕式（14）第三步，如下图计算SB如下图如图四，计算每一部分面积SPSP＝12AB（AC＋BD）＝1∑i-1Yi＋∑iYi2nn∑YiSB＝n∑1∑i-1Yi＋∑iYi2nn∑Yi第四步，计算SASA=SA＋B－SB＝12－n∑1∑i-1Yi＋∑iYi2nn∑Yi＝12nnn∑Yi－n∑∑i-1Yi＋∑iYin∑Yi分解nn∑Yi－n∑∑i-1Yi＋∑iYi得到矩阵Bnn∑Yin∑∑i-1Yi＋∑iYinn∑

4、Yi－n∑∑i-1Yi＋∑iYiY1＋Y2＋…YnY1＋Y2＋…Yn…Y1＋Y2＋…YnY1＋Y2＋…Yn＋Y1Y1＋Y1＋Y2Y1＋Y2＋Y1＋Y2＋Y3…Y1＋Y2＋…Yn－2＋Y1＋Y2＋…Yn－1Y1＋Y2＋…Yn－1＋Y1＋Y2＋…YnYn＋Yn－1＋…Y2Yn＋Yn－1＋…Y3－Y1Yn＋Yn－1＋…Y4－Y1－Y2…Yn－Y1－Y2－…Yn－2－Y1－Y2－…Yn－1加总最后一行，得到：nn∑Yi－n∑∑i-1Yi＋∑iYi＝（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－2）Y2－……－Yn－1＝（n－1）Yn＋（n－3

5、）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1SA=12nnn∑Yi－n∑∑i-1Yi＋∑iYin∑Yi＝12nn∑Yi〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕式（15）比较式（14）和式（15）可得G=△/2u＝2SA。X图四i－1iPABCECABPXnXi－1Xi2、拟合曲线法拟合曲线法计算基尼系数的思路是采用数学方法拟合出洛伦茨曲线，得出曲线的函数表达式，然后用积分法求出B的面积，计算基尼系数。通常是通过设定洛伦茨曲线方程，用回归的方法求出参数，再计算积分。例如，设定洛伦茨曲线

6、的函数关系式为幂函数：I=αPβ式（5）根据选定的样本数据，用回归法求出洛伦茨曲线，例如，α＝m,β=n.求积分SB=∫01mpndp=mn+1式（6）计算G=SASA+B=SA+B－SBSA+B＝1－2mn+1式（7）3、分组计算法这种方法的思路有点类似用几何定义计算积分的方法，在X轴上寻找n个分点，将洛伦茨曲线下方的区域分成n部分，每部分用以直代曲的方法计算面积，然后加总求出面积。分点越多，就越准确，当分点达到无穷大时，则为精确计算。假设分为n组，每组的收入为Yi，则每个部分P的面积为：SP=1∑i-1Yi＋∑iYi2nn∑Yi式（8）加总得到：G=SA

7、SA+B=SA+B－SBSA+B＝1－2limk→∞∑n1∑i-1Yi＋∑iYi2nn∑Yi式（9）这是精确计算基尼系数的表达式，当分点n个数有限时，定义：yi=Yin∑Yi式（10）得到近似表达式:G=2SA=2n（y1+2y2+···＋nyn）－（n+1n）式（11）证明：当分点个数n有限时，G=2SA=2n（y1+2y2+···＋nyn）－（n+1n）定义：yi=Yin∑Yi(不理解为什么要这样定义)SP＝12AB（AC＋BD）＝1∑i-1Yi＋∑iYi2nn∑Yi＝12n（∑iYin∑Yi＋∑i-1Yin∑Yi）SB＝n∑1∑i-1Yi＋∑iYi2n

8、n∑YiSA=SA＋B－SB＝12－n∑1∑i-1Y