抛物线专题复习讲义及练习

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1、...抛物线专题复习讲义及练习★知识梳理★1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质():标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点(0,0)离心率2.抛物线的焦半径、焦点弦①的焦半径;的焦半径;②过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p.③AB为抛物线的焦点弦,则,,=★重难点突破★重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研究抛物线的几何性质难点:与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题1:抛物线y=4上的一点M到

2、焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.B.C.D.0点拨:抛物线的标准方程为,准线方程为,由定义知,点M......到准线的距离为1,所以点M的纵坐标是2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有点拨:抛物线的类型一共有4种,经过第一象限的抛物线有2种,故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质,要具备数形结合思想,“两条腿走路”问题3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨:设为抛物线的焦点弦,F为抛物线的焦点,点分别是点在准线上的射影,弦的中点为M,

3、则,点M到准线的距离为,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切★热点考点题型探析★考点1抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1]已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R,由抛物线的定义知,,当P点为抛物线与垂线的交点时,取得最小值,最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义,就是实现

4、抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且、、成等差数列,则有(  )A.B.C.D.[解析]C由抛物线定义,即:.2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是()A.B.C.D.......[解析]设M到准线的距离为,则,当最小时,M点坐标是,选C考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线上【解题

5、思路】以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论.[解析](1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点(-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得,令得,∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,∴,此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时∴,此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.【名师指引】对开口方向要特别小心,考虑问题要全面【新题导练】3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值[解析]4.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上

6、;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)......[解析]用排除法,由抛物线方程y2=10x可排除①③④,从而②⑤满足条件.5.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且,求此抛物线的方程[解析]设点是点在准线上的射影,则,由勾股定理知,点A的横坐标为,代入方程得或4,抛物线的方程或考点3抛物线的几何性质题型:有

7、关焦半径和焦点弦的计算与论证[例3]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手,先探求定点位置[解析]设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为,直线AB方程为,令得,直线AB必过的定点【名师指引】(1)由于是填空题,可取两特殊直线AB,求交点即可;(2)B点坐标可由A点坐标用换k而得。【新题导练】6.若直线经过抛物线的焦点,则实数[解析]-17.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则()A.B.C.D.[解析]C基

8、础巩固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在[解析]C,而通径的长为4.......2.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5,

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