等比数列的前n项和

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1、第二章数列2.5等比数列的前n项和1.等比数列的定义是什么?如何用递推公式描述?从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数.an-1·an+1=an2(n≥2)【问题提出】2.等比数列的通项公式是什么?3.在等比数列{an}中am·an=ap·ak的条件是什么?特别地,a1·an可以等于什么?m+n=p+kam·an=ap·ak;a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…4.国际象棋起源于古代印度,据传,国王要奖赏国际象棋发明者,问他有何要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依

2、次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.”这是一个什么数学问题?国王能满足他的要求吗?思考1:设S64=1+2+4+8+…+262+263,那么2S64的表达式如何?思考2:S64与2S64的表达式中有许多相同项,你有什么办法消去这些相同项?所得结论如何?2S64=2+4+8+16+…+263+264S64=264-1【知识探究】『知识探究(一)——求和公式的推导』思考3:上述算法实际上解决了求等比数列1,2,4,8…,2n-1,…前64项的和,利用这个算法,1+2+4+8+…+2n-1等于什么?Sn=2n-1思考4:上述算法叫做错位相减法.一般地

3、,设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,利用错位相减法如何求Sn?所得结果如何?Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1……①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn……②①-②得思考5:就是等比数列的前n项和公式,这个公式的使用条件是什么?思考6:当q=1时,如何求Sn?q≠1思考1:当q>1和q<1时,分别使用哪个公式更方便?『知识探究(二)——求和公式的变通』思考2:当公比q≠1时,结合等比数列通项公式,Sn可变形为什么?思考4:等比数列有5个相关量,即a1,an,Sn,q,n,已知其中几个量的值就可以确定其它量的值?思考5:等比数

4、列求和在公比为1与公比不为1时公式不同,若公比为字母,要注意分类讨论.不能忽略q=1的情况,比如如何求和1+a+a2+…+an.【题型分类深度剖析】题型1:等比数列求和公式的简单应用例1:在等比数列有{an}中,求满足条件的量:(1)a1=a3=2,求Sn;(2)q=2,n=5,a1=0.5,求an和Sn;(3)a1=1,an=-512,Sn=-341,求q和n.『变式探究』1.在等比数列有{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,前n项和Sn=126,求n及公比q.2.求等比数列1,x,x2,x3,……的前n项和Sn.题型2:等比数列求和公式的综合应用『变式探究』2.等比数列

5、首项a1>0,公比q>0,前n项和为80,其中最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,则a1=________,q=________.

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